Đặt vấn đề

Giả sử sáng nay bạn thức dậy, mở cửa nhà và phát hiện ra thế giới đã bị ai đó chỉnh nhầm một cái setting.

Bạn đi khỏi nhà 1 km.

Mọi thứ vẫn bình thường.

Đi thêm 1 km nữa.

Ừ, hơi rộng.

Đi thêm vài kilomet nữa.

Và rồi một chuyện rất kỳ quái bắt đầu xảy ra.

Càng đi xa, không gian xung quanh bạn càng sinh ra nhiều chỗ trống hơn.

Không phải vì thành phố xây thêm nhà.

Không phải vì bản đồ được zoom ra.

Mà chính bản thân không gian đang nở ra.

Nếu bạn vẽ một vòng tròn bán kính 1 km quanh mình, chu vi của nó hơi lớn hơn thứ chúng ta quen thuộc.

Bán kính 5 km?

Chu vi bắt đầu phình ra dữ dội.

Bán kính 10 km?

Cái vòng tròn ấy có thể có chu vi lớn hơn hàng nghìn lần trực giác hình học bình thường của chúng ta.

Nghe như game bị bug.

Nhưng toán học bảo:

Không bug gì cả. Chỉ là bạn đang sống trong hyperbolic geometry.

Hyperbolic geometry, hay hình học hyperbolic, là một loại hình học phi Euclid (non-Euclidean geometry) có độ cong âm.

Nếu hình học Euclid là một tờ giấy phẳng, hình học cầu giống bề mặt Trái Đất, thì hyperbolic geometry thường được hình dung bằng một mặt giống chiếc yên ngựa.

Nhưng chiếc yên ngựa chỉ là một hình ảnh cục bộ để bộ não con người đỡ hoảng.

Không gian hyperbolic hoàn chỉnh không đơn giản là “một cái yên ngựa thật to” nằm trong không gian ba chiều.

Nó là một hình học riêng.

Với luật chơi riêng.

Và một khi bước vào đó, những thứ tưởng như hiển nhiên từ hồi lớp 1 bắt đầu phản chủ.

Một đường thẳng có thể có vô số đường song song

Chúng ta lớn lên trong hình học Euclid.

Có một đường thẳng:

1------------------------------

Có một điểm P nằm ngoài đường đó.

Qua P, ta vẽ được đúng một đường thẳng song song với đường ban đầu.

Nghe hiển nhiên đến mức chẳng ai buồn cãi.

Nhưng đây chính là nội dung liên quan đến tiên đề song song của Euclid.

Trong hyperbolic geometry, câu chuyện đổi hẳn.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, tồn tại vô số đường đi qua điểm đó nhưng không bao giờ cắt đường ban đầu. (Encyclopedia of Mathematics)

Hình dung hai người xuất phát gần nhau.

Trong mặt phẳng Euclid, nếu họ đi theo hai hướng song song, khoảng cách giữa họ giữ nguyên.

Trong không gian hyperbolic, hai con đường ban đầu trông gần như song song có thể từ từ tách ra.

Rồi tách nhanh hơn.

Rồi nhanh hơn nữa.

Giống như mặt đất giữa hai người liên tục mọc thêm.

Không phải hai người chạy nhanh hơn.

Không gian ở giữa họ nhiều lên.

Đó là linh hồn của độ cong âm.

Độ cong âm là cái gì?

Có ba thế giới hình học cơ bản rất đáng nhớ.

Trên mặt cầu, các đường đi ban đầu song song có xu hướng hội tụ.

Ví dụ các kinh tuyến Trái Đất.

Ở xích đạo chúng cách xa nhau.

Nhưng càng đi về Bắc Cực, chúng càng gần.

Cuối cùng gặp nhau.

Không gian cong dương có xu hướng ép các đường lại.

Hyperbolic geometry làm điều ngược lại.

Nó xé các đường ra xa nhau.

Nếu tưởng tượng không gian như một tấm cao su vô hình, thì mỗi khi ta đi thêm một bước, ai đó lại lén nhét thêm cao su vào giữa các hướng đi.

Một mét.

Hai mét.

Bốn mét.

Tám mét.

Cứ thế không gian bắt đầu mang một tính chất rất đáng sợ:

số lượng chỗ có thể tồn tại tăng gần giống hàm mũ theo khoảng cách.

Và đây là nơi diện tích bắt đầu nổi loạn.

Một vòng tròn không còn ngoan ngoãn nữa

Trong mặt phẳng Euclid, nếu một hình tròn có bán kính $r$:

$$ C = 2\pi r $$

và:

$$ A = \pi r^2 $$

Chu vi tăng tuyến tính.

Diện tích tăng theo bình phương.

Rất tử tế.

Rất dễ đoán.

Bây giờ xét một không gian hyperbolic chuẩn hóa có độ cong:

$$ K=-1 $$

Chu vi của đường tròn bán kính $r$ trở thành:

$$ C(r)=2\pi\sinh(r) $$

Diện tích trở thành:

$$ A(r)=2\pi(\cosh(r)-1) $$

Trong đó:

$$ \sinh(r)=\frac{e^r-e^{-r}}{2} $$

và:

$$ \cosh(r)=\frac{e^r+e^{-r}}{2} $$

Khi $r$ lớn, cả sinh lẫn cosh đều tăng gần giống:

$$ \frac{e^r}{2} $$

Đây mới là cú đấm.

Trong không gian Euclid:

$$ A(r)\sim r^2 $$

Trong hyperbolic geometry:

$$ A(r)\sim e^r $$

Một bên tăng kiểu bình phương.

Một bên tăng gần như hàm mũ.

Khác biệt ban đầu nhìn khá hiền.

Nhưng đi đủ xa thì nó biến thành quái vật.

Thử bằng vài con số

Với $K=-1$:

Ở bán kính 1, hai thế giới còn khá giống nhau.

Bộ não chúng ta nhìn vào và nói:

Ờ, cũng bình thường.

Đến bán kính 5, vòng tròn hyperbolic đã có chu vi gần 15 lần vòng tròn Euclid.

Đến bán kính 10:

• Euclid: khoảng 63
• Hyperbolic: gần 69.200

Không gian không chỉ rộng.

Nó đang đẻ ra không gian mới nhanh hơn bạn có thể đi qua nó.

Nếu muốn kiểm tra bằng Python:

 1import math
 2
 3def euclidean_circle(r):
 4    circumference = 2 * math.pi * r
 5    area = math.pi * r * r
 6    return circumference, area
 7
 8def hyperbolic_circle(r):
 9    circumference = 2 * math.pi * math.sinh(r)
10    area = 2 * math.pi * (math.cosh(r) - 1)
11    return circumference, area
12
13for r in [1, 2, 3, 5, 10]:
14    print(r, euclidean_circle(r), hyperbolic_circle(r))

Xong thuật toán, quá dễ.

Thứ không dễ là thuyết phục bộ não rằng những con số kia không phải do Python bị sốt.

Vì sao người ta hay vẽ hyperbolic geometry trong một cái đĩa?

Nếu hyperbolic plane vô hạn, làm sao nhét nó vào màn hình laptop?

Không thể lấy nguyên xi.

Thế nên toán học chơi một trò rất đẹp:

nén cả một thế giới vô hạn vào bên trong một hình tròn hữu hạn.

Một trong những mô hình nổi tiếng nhất là Poincaré disk model.

Trong mô hình này, toàn bộ hyperbolic plane được biểu diễn bên trong:

$$ x^2+y^2<1 $$

Tức là bên trong một đường tròn bán kính 1.

Các “đường thẳng” hyperbolic không nhất thiết nhìn thẳng theo mắt Euclid. Chúng được biểu diễn bởi các đường kính hoặc những cung tròn gặp biên của đĩa theo góc vuông. (MathWorld)

Với cách biểu diễn này, người ta rất dễ mắc một sai lầm:

Mấy viên gạch gần mép bé tí. Vậy chắc chúng bé hơn.

Không.

Theo metric hyperbolic, chúng có thể có cùng kích thước.

Mắt chúng ta đang nhìn bằng thước đo Euclid.

Còn cư dân sống trong thế giới đó cầm một cây thước hyperbolic hoàn toàn khác.

Mép đĩa nhìn gần, nhưng đi mãi không tới

Đây là chỗ mình thích nhất.

Đĩa Poincaré có bán kính Euclid bằng 1.

Bạn đứng ở tâm.

Nhìn ra biên.

Bằng mắt thường, khoảng cách có vẻ chỉ là một đoạn ngắn.

Nhưng trong hình học hyperbolic:

biên nằm ở vô cực.

Bạn đi.

Nó vẫn còn phía trước.

Đi tiếp.

Vẫn còn.

Đi thêm một triệu năm nếu cần.

Vẫn chưa chạm được.

Với chuẩn độ cong $K=-1$, metric thường được viết:

$$ ds^2= \frac{4(dx^2+dy^2)} {(1-x^2-y^2)^2} $$

Khoảng cách hyperbolic từ tâm đến một điểm có bán kính Euclid $\rho$ là:

$$ d(0,\rho)

2,\operatorname{artanh}(\rho) $$

hay:

$$ d(0,\rho)

\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) $$

Thử vài giá trị:

Càng gần biên:

$$ \rho\to1 $$

thì:

$$ d\to\infty $$

Một đoạn hình vẽ tưởng như bé tí gần mép thực chất có thể chứa một khoảng cách khổng lồ.

Mép đĩa không phải bức tường.

Nó là chân trời vô tận bị ép vào vài pixel cuối cùng trên màn hình.

Đây cũng là lý do những hình lát gạch hyperbolic thường trông như có vô số viên gạch nhỏ dần rồi chen chúc sát biên.

Chúng không thực sự bị nghiền nhỏ.

Cái đang bị nghiền là cách chúng ta biểu diễn vô cực lên một mặt phẳng hữu hạn.

Tam giác cũng bắt đầu làm chuyện kỳ quặc

Hồi nhỏ chúng ta được dạy:

$$ A+B+C=180^\circ $$

Đúng.

Nhưng chỉ trong hình học Euclid.

Trên mặt cầu:

$$ A+B+C>180^\circ $$

Trong hyperbolic geometry:

$$ A+B+C<180^\circ $$

Đây không phải lỗi đo đạc.

Nó là thuộc tính của không gian có độ cong âm. (MathWorld)

Ví dụ một tam giác có ba góc:

• $60^\circ$
• $45^\circ$
• $30^\circ$

Tổng chỉ có:

$$ 135^\circ $$

Không gian đã “ăn mất”:

$$ 180^\circ-135^\circ=45^\circ $$

Và thứ còn thú vị hơn là phần góc bị thiếu đó liên quan trực tiếp đến diện tích tam giác.

Với độ cong:

$$ K=-1 $$

ta có:

$$ \text{Area}

\pi-(A+B+C) $$

trong đó các góc đo bằng radian.

Đây là một trường hợp của mối liên hệ sâu hơn giữa độ cong và hình học được diễn tả qua định lý Gauss–Bonnet. (MathWorld)

Nói một cách hơi ngáo:

Trong hyperbolic geometry, diện tích của tam giác được đo bằng số góc mà vũ trụ đã ăn mất.

Ví dụ tổng góc là:

$$ 135^\circ=\frac{3\pi}{4} $$

thì:

$$ \text{Area}

\pi-\frac{3\pi}{4}

\frac{\pi}{4} $$

Trong hình học Euclid, biết ba góc chưa đủ để biết tam giác lớn bao nhiêu.

Tam giác cạnh 1 cm và tam giác cạnh 100 km vẫn có thể cùng ba góc.

Chúng chỉ là hai bản phóng to của nhau.

Hyperbolic geometry không cho bạn sự xa xỉ đó.

Các tam giác có cùng ba góc sẽ có cùng kích thước theo hình học hyperbolic; nói cách khác, không tồn tại chuyện hai tam giác hyperbolic không đồng dạng mà vẫn chỉ khác nhau bởi phép phóng to như trong Euclid. (MathWorld)

Không gian đã tự mang trong mình một thước đo.

Nhưng tại sao diện tích lại tăng nhanh đến vậy?

Hãy quay lại một chuyện cực kỳ đời thường.

Giả sử bạn đang đứng ở một ngã tư.

Mỗi bước đi, đường tách thành hai nhánh.

1        O
2       / \
3      O   O
4     / \ / \
5    O  O O  O

Ở tầng 0:

11

Tầng 1:

12

Tầng 2:

14

Tầng 3:

18

Sau $n$ tầng:

$$ 2^n $$

Đây là một cái cây.

Số node ở xa gốc khoảng $n$ bước tăng theo hàm mũ.

Bây giờ thử nhét cái cây đó vào mặt phẳng Euclid.

Vấn đề xuất hiện.

Càng ra xa, số nhánh càng nhiều.

Nhưng chu vi vòng tròn Euclid chỉ tăng:

$$ 2\pi r $$

Tức là tuyến tính.

Cây muốn sinh chỗ theo hàm mũ.

Không gian Euclid chỉ cấp đất theo tuyến tính ở mỗi vòng.

Hai bên bắt đầu đánh nhau.

Nhánh cây phải:

• chen chúc,
• méo mó,
• chồng lên nhau,
• hoặc cần rất nhiều chiều.

Hyperbolic space thì khác.

Chu vi của nó đã tăng gần như:

$$ e^r $$

Cây nói:

Tôi cần chỗ theo hàm mũ.

Không gian hyperbolic nói:

Ừ, lấy đi con.

Và đây không còn là trò chơi hình học nữa.

Nó chui thẳng vào machine learning.

Từ hình học kỳ quặc đến embedding trong AI

Giả sử ta cần biểu diễn một taxonomy:

 1Sản phẩm
 2├── Điện tử
 3│   ├── TV
 4│   │   ├── OLED
 5│   │   └── Mini LED
 6│   └── Laptop
 7│       ├── Gaming
 8│       └── Văn phòng
 9└── Gia dụng
10    ├── Máy lạnh
11    └── Máy giặt

Đây rõ ràng là cấu trúc cây.

Node càng xuống sâu thì số lượng thường càng tăng.

Nếu dùng embedding Euclid bình thường:

$$ x\in\mathbb{R}^d $$

ta phải cố nhét một cấu trúc tăng trưởng kiểu cây vào một không gian có quy luật thể tích kiểu Euclid.

Không phải lúc nào cũng tệ.

Nhưng về mặt hình học, hai cấu trúc không thực sự hợp tính nhau.

Năm 2017, Nickel và Kiela đề xuất Poincaré embeddings, sử dụng không gian hyperbolic để biểu diễn dữ liệu có cấu trúc phân cấp. Ý tưởng tận dụng chính khả năng tăng thể tích nhanh của hyperbolic space để đồng thời biểu diễn quan hệ phân cấp và độ tương tự. (NeurIPS Papers)

Một cách hình dung khá đẹp là:

• node tổng quát nằm gần tâm;
• node càng cụ thể càng đi ra phía ngoài;
• số lượng vị trí khả dụng tăng rất nhanh khi tiến gần biên.

Ví dụ:

1                    Sản phẩm
2                       |
3             --------------------
4             |                  |
5          Điện tử            Gia dụng
6          /    \              /    \
7        TV    Laptop      Máy lạnh  Máy giặt
8       / \
9    OLED MiniLED

Trong không gian Euclid, ta chủ yếu hỏi:

Hai điểm cách nhau bao xa?

Trong hyperbolic embedding, khoảng cách còn có thể tự nhiên mang dấu vết của cấu trúc phân cấp:

• gần tâm: khái niệm tổng quát,
• xa tâm: khái niệm cụ thể,
• góc giữa các hướng: các nhánh khác nhau của hierarchy.

Hyperbolic geometry vì vậy đã được nghiên cứu cho các bài toán như taxonomy, knowledge graph, graph representation và các dữ liệu có cấu trúc cây. Tuy nhiên nó không phải thuốc tiên; nếu dữ liệu không có tính phân cấp mạnh, không có lý do gì để mặc định hyperbolic space sẽ tốt hơn Euclidean space. (NeurIPS Papers)

Khoảng cách trong Poincaré ball

Với hai vector:

$$ u,v\in\mathbb{R}^n $$

nằm trong quả cầu đơn vị:

$$ |u|<1,\qquad |v|<1 $$

một dạng khoảng cách Poincaré phổ biến với độ cong $-1$ là:

$$ d(u,v)

\operatorname{arcosh} \left( 1+ 2 \frac{ |u-v|^2 }{ (1-|u|^2)(1-|v|^2) } \right) $$

Nhìn khá đáng sợ.

Nhưng hãy nhìn vào hai cái mẫu số:

$$ 1-|u|^2 $$

và:

$$ 1-|v|^2 $$

Khi một vector tiến sát biên:

$$ |u|\to1 $$

thì:

$$ 1-|u|^2\to0 $$

Khoảng cách có thể phình lên rất nhanh.

Một bước nhỏ bằng mắt Euclid gần biên có thể tương ứng với một bước khổng lồ theo metric hyperbolic.

Đó chính xác là cơ chế giúp ta nhét vô số tầng hierarchy vào một quả cầu tưởng như nhỏ bé.

Đường ngắn nhất lại trông cong

Có thêm một cú lừa thị giác nữa.

Trong hình học Euclid, đường ngắn nhất nối hai điểm là một đoạn thẳng.

Trong hyperbolic geometry cũng vậy, nếu gọi “thẳng” theo đúng định nghĩa nội tại của không gian.

Đường đó được gọi là geodesic.

Nhưng khi biểu diễn trong Poincaré disk, geodesic có thể hiện ra trước mắt chúng ta dưới dạng một cung tròn. (MathWorld)

Nghe rất mâu thuẫn:

Đường thẳng mà lại cong?

Không.

Nó chỉ cong trên bản đồ.

Ví dụ Trái Đất.

Máy bay từ Tokyo sang New York thường bay theo một cung trông cong ngoằn ngoèo trên bản đồ Mercator.

Phi công không say.

Bản đồ mới là thứ đang bóp méo hình học.

Poincaré disk cũng vậy.

Một thế giới vô hạn được ép vào một cái đĩa hữu hạn.

Chúng ta không thể đòi mọi thứ sau khi bị ép vẫn trông giống hình học trên mặt bàn.

Ba thế giới, ba kiểu vòng tròn

Có một cách rất đẹp để gom mọi thứ lại.

Không gian cong dương

Trên hình cầu:

$$ C(r)<2\pi r $$

Không gian thiếu chỗ.

Các hướng hội tụ.

Không gian phẳng

Euclid:

$$ C(r)=2\pi r $$

Không gian cư xử đúng như những gì chúng ta học từ nhỏ.

Không gian cong âm

Hyperbolic:

$$ C(r)>2\pi r $$

Không gian dư chỗ.

Các hướng tách nhau.

Nếu độ cong là:

$$ K=-\frac{1}{R^2} $$

thì chu vi đường tròn hyperbolic là:

$$ C(r)

2\pi R\sinh\left(\frac{r}{R}\right) $$

và diện tích:

$$ A(r)

2\pi R^2 \left( \cosh\left(\frac{r}{R}\right)-1 \right) $$

Khi:

$$ R\to\infty $$

độ cong tiến về 0.

Ta có:

$$ \sinh(x)\approx x $$

và:

$$ \cosh(x)-1\approx\frac{x^2}{2} $$

nên:

$$ C(r)\to2\pi r $$

và:

$$ A(r)\to\pi r^2 $$

Hyperbolic geometry không phá bỏ Euclid.

Euclid xuất hiện như trường hợp giới hạn khi độ cong trở nên cực nhỏ.

Một thế giới phẳng chẳng qua là một thế giới cong đến mức quá nhẹ để ta nhận ra.

Vì sao trực giác của chúng ta ghét hyperbolic geometry?

Vì bộ não con người được huấn luyện bằng dữ liệu training khá thiên vị.

Chúng ta lớn lên trong những căn phòng nhỏ.

Đi trên những con đường ngắn.

Cầm những cây thước vài chục centimet.

Xây những căn nhà vài chục mét.

Ở các thang đo này, không gian quanh chúng ta gần Euclid đến mức:

$$ A+B+C\approx180^\circ $$

và:

$$ C\approx2\pi r $$

não kết luận:

À, đây chắc là luật của vũ trụ.

Không.

Đây chỉ là luật của vùng dữ liệu mà con khỉ Homo sapiens đã được train trên đó.

Toán học thú vị ở chỗ nó cho phép chúng ta làm một việc mà giác quan không làm được:

tách sự thật khỏi trực giác.

Ta không cần nhìn thấy một hyperbolic plane hoàn chỉnh bằng mắt.

Ta chỉ cần xây tiên đề.

Suy luận.

Rồi xem những gì buộc phải đúng.

Và từ vài thay đổi nhỏ trong tiên đề song song, cả một vũ trụ mới rơi ra:

• vô số đường không cắt một đường cho trước;
• tam giác có tổng góc nhỏ hơn $180^\circ$;
• diện tích liên quan trực tiếp đến phần góc bị thiếu;
• vòng tròn có chu vi tăng gần như hàm mũ;
• biên của một cái đĩa hữu hạn có thể nằm ở vô cực;
• cấu trúc cây có thể nằm tự nhiên trong một không gian liên tục.

Chỉ đổi một luật nhỏ.

Cả thế giới thay đổi.

Tổng kết

Hyperbolic geometry thoạt nhìn giống một món toán học khá xa xỉ: vài cái tam giác méo, mấy hình lát gạch đẹp mắt, vài công thức sinh, cosh trông như các nhà toán học đang cố tình dọa sinh viên.

Nhưng ý tưởng cốt lõi lại rất đơn giản:

không gian không nhất thiết phải sinh ra diện tích theo cách mà chúng ta quen thuộc.

Trong mặt phẳng Euclid, đi xa gấp đôi cho ta một lượng không gian tăng tương đối chậm.

Trong hyperbolic space, mỗi bước tiến ra ngoài có thể mở thêm một lượng không gian lớn hơn bước trước rất nhiều.

Khoảng cách không còn chỉ là chuyện hai điểm nằm xa nhau bao nhiêu.

Nó trở thành câu chuyện về bản thân không gian có bao nhiêu chỗ để chứa mọi thứ giữa hai điểm ấy.

Và có lẽ đây là phần đẹp nhất.

Một thế giới vô hạn có thể được ép vào một hình tròn.

Một đường cong có thể là đường thẳng.

Một tam giác có thể chỉ có tổng góc $120^\circ$.

Một vùng tưởng bé bằng vài pixel sát mép màn hình có thể chứa cả một khoảng cách vô tận.

Toán học không nói rằng trực giác của chúng ta ngu.

Nó chỉ nhẹ nhàng chỉ vào cái đầu bé xíu của con người và nói:

Cái vũ trụ mà mày quen nhìn, mới chỉ là một trường hợp đặc biệt thôi.

Tham khảo

• Wolfram MathWorld — Hyperbolic Geometry. Hyperbolic Geometry — MathWorld
• Wolfram MathWorld — Poincaré Hyperbolic Disk. Poincaré Hyperbolic Disk — MathWorld
• Encyclopedia of Mathematics — Non-Euclidean Geometries. Non-Euclidean Geometries
• Encyclopedia of Mathematics — Poincaré Model. Poincaré Model
• Maximilian Nickel, Douwe Kiela — Poincaré Embeddings for Learning Hierarchical Representations, NeurIPS 2017. Poincaré Embeddings — NeurIPS
• Wikimedia Commons — ví dụ hyperbolic tiling trong mô hình Poincaré disk; hình minh họa có bản public domain và Creative Commons. (commons.wikimedia.org)