Đặt vấn đề
Có một câu mà gần như đứa trẻ nào đi học cũng từng thuộc lòng:
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Nghe chắc chắn như chuyện Trái Đất quay quanh Mặt Trời.
Ta vẽ một tam giác lên giấy:
1 A
2 / \
3 / \
4 / \
5 B-------C
Đo ba góc.
Ví dụ:
1A = 50°
2B = 60°
3C = 70°
Cộng lại:
$$ 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ $$
Xong toán.
Quá dễ.
Nhưng bây giờ giả sử chúng ta lấy tờ giấy ấy vứt đi.
Thay vào đó, hãy lấy một quả bóng thật lớn.
Rồi bò lên quả bóng ấy và vẽ một tam giác.
Lúc này một chuyện hơi ngáo bắt đầu xảy ra:
tổng ba góc có thể lớn hơn 180°.
Thậm chí ta có thể vẽ một tam giác có:
$$ 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ $$
Không phải máy tính hỏng.
Không phải thước đo góc bị lỗi.
Và cũng không phải toán học phản bội chúng ta.
Chỉ đơn giản là câu:
“Tam giác có tổng ba góc bằng 180°”
chưa bao giờ là chân lý tuyệt đối của mọi không gian.
Nó chỉ là chân lý của một loại không gian đặc biệt:
không gian Euclid phẳng.
Và ngay khi bề mặt bắt đầu cong, hình học cũng bắt đầu đổi luật chơi.
Một con kiến sống trên quả bóng
Giả sử có một con kiến rất nhỏ sống trên một quả bóng khổng lồ.
Con kiến không bay được.
Nó cũng không đào xuyên qua quả bóng.
Toàn bộ thế giới của nó chỉ có hai chiều:
1trái ← → phải
2trước ← → sau
Nó không biết rằng thế giới của mình đang cong trong chiều thứ ba.
Đối với nó, bề mặt quả bóng chính là toàn bộ vũ trụ.
Đây là điểm quan trọng.
Khi nói về hình học phi Euclid, chúng ta không nhất thiết phải đứng bên ngoài rồi nhìn thấy bề mặt đang cong.
Một sinh vật sống hoàn toàn bên trong không gian đó vẫn có thể phát hiện độ cong bằng cách đo đạc hình học.
Ví dụ, nó có thể vẽ tam giác.
Nếu tam giác cứ liên tục cho kết quả khác 180°, con kiến sẽ bắt đầu nghi ngờ:
“Ơ… có khi vũ trụ của mình không phẳng.”
Đó là một ý tưởng sâu hơn nhiều so với chuyện tam giác.
Hình học có thể tiết lộ hình dạng của chính không gian mà chúng ta đang sống trong đó.
Euclid đã xây một thế giới như thế nào?
Khoảng hơn hai nghìn năm trước, Euclid hệ thống hóa hình học trong tác phẩm Elements.
Ông bắt đầu từ một số tiên đề rồi suy luận ra hàng loạt định lý.
Một trong những tiên đề nổi tiếng nhất liên quan đến đường thẳng song song.
Phiên bản hiện đại, dễ hiểu hơn, có thể nói như sau:
Giả sử có một đường thẳng:
1──────────────────────────
và một điểm P nằm ngoài đường thẳng đó:
1 P
2
3
4──────────────────────────
Trong hình học Euclid, đi qua P chỉ tồn tại đúng một đường thẳng không bao giờ gặp đường ban đầu.
1─────────────P────────────
2
3──────────────────────────
Đây chính là tinh thần của tiên đề song song (parallel postulate).
Suốt nhiều thế kỷ, các nhà toán học nhìn tiên đề này và cảm thấy hơi khó chịu.
Bởi những tiên đề khác trông khá tự nhiên.
Còn tiên đề song song thì dài dòng và có vẻ giống một thứ đáng lẽ phải chứng minh được.
Thế là rất nhiều người cố gắng chứng minh nó từ các tiên đề còn lại.
Họ cố.
Rồi cố nữa.
Rồi vài thế kỷ trôi qua.
Vẫn không được.
Sau đó một số nhà toán học quyết định chơi một trò khá nguy hiểm:
“Nếu tiên đề song song không đúng thì sao?”
Và thay vì toán học sụp đổ thành một đống tro bụi, họ phát hiện ra…
một vũ trụ hình học hoàn toàn mới.
Những hệ hình học ấy ngày nay được gọi chung là hình học phi Euclid (non-Euclidean geometry). (Encyclopedia of Mathematics)
Ba loại không gian cơ bản
Nếu chỉ xét những không gian hai chiều có độ cong đều, ta có thể hình dung ba trường hợp rất đẹp:
1 ĐỘ CONG
2
3 âm 0 dương
4 │ │ │
5 ▼ ▼ ▼
6
7 yên ngựa mặt bàn mặt cầu
8 Hyperbolic Euclidean Spherical
Hay bằng bảng:
| Không gian | Độ cong | Tổng góc tam giác |
|---|---|---|
| Euclid | $0$ | $=180^\circ$ |
| Hyperbolic | âm | $<180^\circ$ |
| Spherical | dương | $>180^\circ$ |
Đây gần như là ba thế giới khác nhau.
Nhưng điều thú vị là:
mỗi cư dân sống trong mỗi thế giới đều có thể tưởng hình học của mình là “bình thường”.
Hình học cầu: tam giác 270 độ
Đây là ví dụ dễ thấy nhất.
Hãy tưởng tượng Trái Đất là một quả cầu hoàn hảo.
Ta bắt đầu tại Bắc Cực.
Đi thẳng xuống xích đạo theo một kinh tuyến.
Sau đó rẽ 90° và đi dọc xích đạo.
Đi một phần tư vòng Trái Đất.
Sau đó lại rẽ 90°, đi theo một kinh tuyến khác trở về Bắc Cực.
Sơ đồ đại khái:
1 Bắc Cực
2 ●
3 / \
4 / \
5 / \
6 / \
7 ●---------●
8 Xích đạo
Ba cạnh của tam giác là các đoạn của đường tròn lớn (great circle).
Ta có:
- góc ở điểm thứ nhất trên xích đạo: $90^\circ$
- góc ở điểm thứ hai trên xích đạo: $90^\circ$
- góc tại Bắc Cực: $90^\circ$
Tổng:
$$ 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ $$
Một tam giác.
270 độ.
Không gian không hề xin lỗi.
Trong hình học cầu, tam giác được tạo bởi các cung của đường tròn lớn và tổng góc của nó lớn hơn $180^\circ$. (MathWorld)
Nhưng tại sao lại như vậy?
Bởi vì bề mặt đang cong.
Các đường mà con kiến coi là “đi thẳng” thực ra đang chuyển động trên một bề mặt cầu.
Trong hình học hiện đại, đường đi thẳng nhất có thể trong một không gian cong được gọi là geodesic.
Trên mặt phẳng:
1geodesic = đường thẳng
Trên mặt cầu:
1geodesic = cung của đường tròn lớn
Ví dụ:
- xích đạo
- các kinh tuyến
đều là những geodesic của Trái Đất lý tưởng hóa.
Điều quan trọng là:
“Đường thẳng” không nhất thiết phải trông thẳng khi chúng ta nhìn nó từ một chiều cao hơn.
Với sinh vật sống trên bề mặt cầu, geodesic chính là thứ gần nhất với khái niệm “đi thẳng”.
Và rồi đường song song biến mất
Trên mặt phẳng Euclid, hai đường song song có thể chạy mãi mãi mà không gặp nhau.
Nhưng trên hình cầu thì sao?
Hãy lấy hai kinh tuyến.
Ở xích đạo, chúng có thể cách nhau hàng nghìn kilomet.
Nhưng đi về phía Bắc:
1\ /
2 \ /
3 \ /
4 \ /
5 \ /
6 \ /
7 ● Bắc Cực
Chúng gặp nhau.
Đi về phía Nam?
Chúng lại gặp nhau ở Nam Cực.
Nếu “đường thẳng” trên hình cầu được hiểu là đường tròn lớn, thì hai đường như vậy cuối cùng sẽ giao nhau.
Thế là khái niệm song song kiểu Euclid gần như biến mất.
Không phải vì chúng ta vẽ sai.
Mà vì không gian khác thì luật hình học khác.
Hình học hyperbolic: thế giới rộng ra quá nhanh
Bây giờ đến một thứ kỳ quặc hơn.
Hãy tưởng tượng bề mặt giống chiếc yên ngựa:
1 \ /
2 \______/
3 / \
4 / \
Một hướng cong lên.
Hướng kia cong xuống.
Đây là hình ảnh trực quan thường dùng cho độ cong âm.
Không gian có độ cong âm đều được mô hình hóa bởi hình học hyperbolic.
Nếu hình cầu giống như không gian đang “khép lại”, thì hyperbolic giống như không gian đang xòe ra nhanh hơn bạn tưởng.
Và chuyện đầu tiên xảy ra là:
$$ A+B+C < 180^\circ $$
Tổng góc tam giác hyperbolic luôn nhỏ hơn $180^\circ$. (MathWorld)
Ví dụ có thể có một tam giác:
1A = 50°
2B = 50°
3C = 50°
Tổng:
$$ 150^\circ $$
Thiếu mất 30°.
Ba mươi độ ấy không rơi xuống gầm bàn.
Nó phản ánh độ cong của không gian.
Một điểm, một đường, vô số đường song song
Nhớ lại thế giới Euclid:
1Qua một điểm ngoài đường thẳng
2→ đúng 1 đường song song.
Hyperbolic nói:
“Một đường thôi à? Ít vậy?”
Trong hình học hyperbolic, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có vô số geodesic không cắt đường đó. (Encyclopedia of Mathematics)
Tưởng tượng:
1 \ | /
2 \ | /
3 \ P /
4 \ | /
5 \|
6
7
8────────────────────
Trong hình học Euclid, phần lớn các đường đi qua P cuối cùng sẽ cắt đường phía dưới.
Chỉ có một đường duy nhất thực sự song song.
Nhưng trong hyperbolic geometry, vì bản thân không gian đang “nở” theo độ cong âm, nhiều geodesic có thể chạy ra xa nhau mãi mãi.
Không gian giống như một chiếc bánh mì đang nở trong lò, nhưng nở theo một cách mà não người sống trên mặt bàn không được thiết kế để tưởng tượng.
Mô hình đĩa Poincaré
Làm sao chúng ta vẽ một thế giới hyperbolic lên màn hình phẳng?
Một cách nổi tiếng là Poincaré disk model.
Ta lấy một hình tròn:
1 .----------------.
2 .' '.
3 .' '.
4 / \
5 | |
6 | |
7 \ /
8 '. .'
9 '. .'
10 '----------------'
Toàn bộ mặt phẳng hyperbolic vô hạn được nén vào bên trong hình tròn đó.
Nghe hơi giống nhét cả vũ trụ vào cái đĩa ăn cơm.
Nhưng có một điều phải nhớ:
biên của hình tròn không phải là bức tường.
Nó ở xa vô hạn theo metric hyperbolic.
Càng tiến gần mép, khoảng cách hyperbolic càng bị kéo giãn.
Trong mô hình này, geodesic thường trông như những cung tròn uốn cong, dù đối với sinh vật sống trong không gian hyperbolic thì đó chính là “đường thẳng”. Poincaré disk là một trong các mô hình tiêu chuẩn của mặt phẳng hyperbolic. (MathWorld)
Một hình minh họa rất hay của mô hình này là các geodesic và vô số đường song song đi qua cùng một điểm. (Wikimedia Commons)
Tam giác không chỉ đo góc, nó đo cả không gian
Đây là phần mình thấy đẹp nhất.
Trong hình học Euclid, nếu ta phóng to một tam giác lên gấp đôi:
1 /\ /\
2 / \ / \
3 /____\ / \
4 /______\
các góc vẫn giữ nguyên.
Ta có vô số tam giác đồng dạng (similar) nhưng kích thước khác nhau.
Một tam giác cạnh:
13 - 4 - 5
và một tam giác:
16 - 8 - 10
có thể có cùng góc nhưng diện tích khác nhau.
Trong các hình học có độ cong hằng phi Euclid, chuyện đó thay đổi.
Đối với hyperbolic geometry, các tam giác có cùng bộ góc sẽ đồng dạng theo nghĩa mạnh đến mức chúng thực chất phải bằng nhau về kích thước; không tồn tại những tam giác đồng dạng nhưng không đồng dạng hợp (noncongruent similar triangles) như trong Euclid. (Encyclopedia of Mathematics)
Nói đơn giản:
Góc của tam giác không chỉ mô tả hình dạng. Nó còn mang thông tin về kích thước của tam giác so với độ cong của không gian.
Một cái tam giác bé xíu bỗng trở thành thiết bị dò cấu trúc vũ trụ.
Khá ngáo.
Nhưng toán đúng.
Diện tích nằm trong… các góc
Trên hình cầu bán kính $R$, nếu một tam giác có các góc $A$, $B$, $C$ tính bằng radian, diện tích của nó là:
$$ S = R^2(A+B+C-\pi) $$
Phần:
$$ A+B+C-\pi $$
được gọi là spherical excess — phần góc dư ra so với $180^\circ$. (MathWorld)
Nghĩa là càng dư nhiều góc, tam giác càng lớn.
Ví dụ tam giác Bắc Cực lúc nãy:
$$ A=B=C=\frac{\pi}{2} $$
nên:
$$ A+B+C-\pi
\frac{3\pi}{2}-\pi
\frac{\pi}{2} $$
Suy ra:
$$ S=\frac{\pi R^2}{2} $$
Diện tích đó chính xác bằng một phần tám diện tích toàn bộ mặt cầu:
$$ \frac{1}{8}\times 4\pi R^2
\frac{\pi R^2}{2} $$
Tức là ba con số $90^\circ$ kia không chỉ nói:
“Tam giác này hơi kỳ.”
Chúng còn nói cho chúng ta biết:
“Tam giác đang chiếm bao nhiêu phần của quả cầu.”
Vậy 180 độ từ đâu mà ra?
Bây giờ ta quay lại câu hỏi ban đầu.
Tại sao trên giấy tổng ba góc lại bằng 180°?
Bởi vì mặt giấy được mô hình hóa như một không gian có độ cong:
$$ K=0 $$
Nếu độ cong dương:
$$ K>0 $$
ta có xu hướng:
$$ A+B+C>180^\circ $$
Nếu độ cong âm:
$$ K<0 $$
ta có:
$$ A+B+C<180^\circ $$
Ta có thể tưởng tượng:
1 tổng góc
2 ↑
3 │
4 hình cầu │ > 180°
5 │
6─────────────────────┼────────── 180°
7 Euclid │
8 │
9 hyperbolic │ < 180°
10 │
11 └────────────→ độ cong
12
13 âm 0 dương
Euclid không sai.
Ông chỉ đang mô tả trường hợp:
$$ K=0 $$
mà thôi.
Thực tế, Euclidean geometry có thể được nhìn như trường hợp giới hạn khi bán kính cong trở nên cực lớn; ở quy mô rất nhỏ so với bán kính cong, hình học phi Euclid cũng trở nên gần giống Euclid. (Encyclopedia of Mathematics)
Vì sao chúng ta không thấy chuyện này hằng ngày?
Trái Đất cong.
Vậy tại sao tam giác vẽ trong lớp học vẫn bằng gần đúng 180°?
Vì chúng quá nhỏ.
Giả sử ta vẽ một tam giác cạnh 10 cm trên bề mặt Trái Đất.
Bán kính Trái Đất khoảng hàng nghìn kilomet.
So sánh:
1tam giác: 0.0001 km
2Trái Đất: hàng nghìn km
Ở quy mô đó, độ cong nhỏ đến mức ta gần như không cảm nhận được.
Giống như đứng giữa một cánh đồng rộng.
Ta nhìn xuống:
1____________________________
và thấy mặt đất hoàn toàn phẳng.
Nhưng nếu bay ra ngoài không gian:
1 ______
2 .-' '-.
3 .' '.
4 / \
thì mới thấy nó cong.
Đó là lý do hình học Euclid hoạt động cực kỳ tốt cho:
- xây nhà
- đo bàn ghế
- thiết kế phòng
- cơ khí thông thường
- bản vẽ kỹ thuật ở quy mô nhỏ
Không phải vì vũ trụ nhất thiết Euclid.
Mà vì ở nhiều quy mô đời thường:
không gian đủ phẳng để chúng ta giả vờ rằng nó phẳng.
Và phép giả vờ ấy chính xác đến mức rất hữu ích.
Một điều còn kỳ hơn: ta không cần chiều thứ ba để biết mặt cầu cong
Có một hiểu lầm khá phổ biến:
“Muốn biết mặt cầu cong thì phải đứng bên ngoài nhìn nó từ không gian ba chiều.”
Không cần.
Con kiến sống trên mặt cầu có thể tự làm thí nghiệm.
Nó vẽ một tam giác thật lớn.
Đo:
$$ A+B+C $$
Nếu kết quả:
$$
180^\circ $$
nó biết không gian có độ cong dương.
Nó chẳng cần biết quả cầu đang nằm trong một căn phòng ba chiều nào cả.
Độ cong có thể được đo từ bên trong không gian.
Đây là bước tư duy cực kỳ quan trọng dẫn đến hình học vi phân của Gauss và sau đó là hình học Riemann.
Không gian không cần phải cong “vào một thứ khác”.
Nó có thể có độ cong nội tại.
Nghe hơi như một con cá phát hiện đại dương bằng cách đo đường đi của mình, dù nó chưa từng bước lên bờ.
Từ tam giác đến Einstein
Đến đây câu chuyện tưởng chỉ là trò nghịch ngợm của mấy nhà toán học:
1Euclid:
2tam giác = 180°
3
4Nhà toán học thế kỷ XIX:
5nếu không thì sao?
6
7Euclid:
8...
Nhưng rồi vật lý bước vào.
Năm 1915, trong thuyết tương đối rộng (General Relativity), Einstein mô tả hấp dẫn không đơn thuần như một lực kéo xuyên qua một sân khấu không gian cố định.
Khối lượng và năng lượng liên quan đến hình học của không-thời gian.
Vật chất nói cho không-thời gian cách cong.
Và hình học cong ảnh hưởng đến cách vật chất chuyển động.
Theo cách diễn đạt trực giác:
1Mặt Trời
2 ↓
3làm hình học không-thời gian quanh nó thay đổi
4 ↓
5Trái Đất chuyển động theo geodesic
6 ↓
7ta quan sát thấy quỹ đạo
Thế là thứ từng bắt đầu bằng câu hỏi:
“Liệu có chứng minh được tiên đề song song không?”
cuối cùng góp phần tạo nên thứ ngôn ngữ toán học dùng để mô tả hấp dẫn và cấu trúc không-thời gian.
Một đường từ cái thước kẻ của Euclid đi thẳng tới vũ trụ.
Khá xa.
Vậy hình học nào mới là “đúng”?
Đây có lẽ là câu hỏi thú vị nhất.
Euclid đúng?
Hyperbolic đúng?
Spherical đúng?
Câu trả lời là:
không có hệ nào đơn giản là “đúng” còn những hệ khác “sai”.
Mỗi hệ bắt đầu với những tiên đề khác nhau và suy ra những kết quả khác nhau.
Ví dụ:
1Euclid:
2qua P có đúng 1 đường song song.
3
4Hyperbolic:
5qua P có vô số.
6
7Spherical:
8không có đường song song kiểu đó.
Nếu chấp nhận bộ tiên đề tương ứng, toàn bộ hệ thống tiếp tục vận hành một cách logic.
Đây chính là cú sốc triết học mà hình học phi Euclid mang lại.
Trong hàng nghìn năm, con người có thể nghĩ hình học Euclid là:
hình học duy nhất mà không gian bắt buộc phải tuân theo.
Nhưng rồi chúng ta phát hiện:
Có nhiều hình học nhất quán.
Toán học không ra lệnh cho thực tại phải dùng hệ nào.
Vật lý và quan sát mới cho chúng ta biết mô hình hình học nào phù hợp với thế giới trong hoàn cảnh đang xét.
Một bảng để nhớ tất cả
| Thuộc tính | Euclidean | Spherical | Hyperbolic |
|---|---|---|---|
| Độ cong | $0$ | dương | âm |
| Hình dung | mặt bàn | quả cầu | mặt yên ngựa |
| Tổng góc tam giác | $180^\circ$ | $>180^\circ$ | $<180^\circ$ |
| Đường qua P không cắt đường L | 1 | 0 theo mô hình great-circle | vô số |
| Tam giác đồng dạng khác kích thước | Có | Không theo cách Euclid | Không |
| Geodesic | đường thẳng | great circle | geodesic hyperbolic |
Nếu chỉ cần nhớ một dòng thì nhớ cái này:
1Không gian khép lại → tam giác béo lên → >180°
2Không gian phẳng → tam giác bình thường → =180°
3Không gian xòe ra → tam giác gầy đi → <180°
Không hoàn toàn là định nghĩa toán học.
Nhưng khá dễ nhớ.
Một bài toán nhỏ
Giả sử một tam giác có:
$$ A=70^\circ $$
$$ B=70^\circ $$
$$ C=70^\circ $$
Tổng:
$$ 210^\circ $$
Nếu ba cạnh của nó là geodesic trong một không gian có độ cong hằng, ta có thể đoán đây là loại hình học nào?
Vì:
$$ 210^\circ>180^\circ $$
nên nó phù hợp với hình học có độ cong dương, chẳng hạn spherical geometry.
Ngược lại, nếu:
$$ A=50^\circ,\qquad B=50^\circ,\qquad C=50^\circ $$
thì:
$$ A+B+C=150^\circ $$
Đây là dấu hiệu của hyperbolic geometry.
Còn:
$$ 60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ $$
chính là tam giác đều quen thuộc trong Euclidean geometry.
Ba tam giác.
Ba vũ trụ.
Điều đẹp nhất của hình học phi Euclid
Điều thú vị nhất của hình học phi Euclid theo mình không phải là:
“Ồ, có tam giác tổng góc bằng 270°.”
Mà là thứ nằm phía sau câu chuyện đó.
Con người từng nhìn một tiên đề và nghĩ:
chắc nó phải đúng.
Rồi hàng thế kỷ cố chứng minh.
Cuối cùng có người hỏi:
nếu nó không đúng thì sao?
Và thay vì thế giới toán học đổ sập, cả một lục địa mới xuất hiện.
Đây là một kiểu tư duy rất đáng học.
Một mệnh đề có thể đúng không phải vì vũ trụ bắt buộc phải như thế.
Nó có thể đúng bởi vì ta đang đứng bên trong một hệ tiên đề khiến nó đúng.
Trên mặt bàn:
$$ A+B+C=180^\circ $$
Trên quả cầu:
$$ A+B+C>180^\circ $$
Trong hyperbolic space:
$$ A+B+C<180^\circ $$
Tam giác chẳng thay đổi tính cách.
Thứ thay đổi là sân khấu mà tam giác đang sống.
Và đôi khi, để hiểu một vật đang hành xử kỳ quặc, ta không nên hỏi:
“Vật này bị làm sao vậy?”
Mà nên hỏi:
“Không gian xung quanh nó đang có hình dạng gì?”
Tổng kết
Hình học Euclid không phải là toàn bộ hình học.
Nó chỉ là hình học của không gian phẳng.
Khi không gian có độ cong dương như mặt cầu, tổng ba góc của tam giác lớn hơn $180^\circ$.
Khi không gian có độ cong âm như hyperbolic space, tổng ba góc nhỏ hơn $180^\circ$.
Và từ một thay đổi tưởng nhỏ trong tiên đề song song, toán học đã mở ra cả một họ không gian hoàn toàn mới, rồi những ý tưởng ấy tiếp tục trở thành nền tảng quan trọng của hình học hiện đại và vật lý.
Có lẽ bài học thú vị nhất là:
180° không phải luật của tam giác.
Nó là dấu vết của một không gian phẳng.
Cảm ơn các bạn đã quan tâm và theo dõi bài viết, hẹn gặp lại ở các bài viết tiếp theo.
Tham khảo
- Encyclopedia of Mathematics — Non-Euclidean geometries. Non-Euclidean geometries
- Wolfram MathWorld — Hyperbolic Geometry. Hyperbolic Geometry
- Wolfram MathWorld — Spherical Triangle. Spherical Triangle
- Encyclopedia of Mathematics — Elements of Euclid. Elements of Euclid
- Wikimedia Commons — Poincaré disk models. Poincaré disk models
- Wikimedia Commons — Hyperbolic parallel lines in the Poincaré disk. Poincaré disk hyperbolic parallel lines
Bình luận