Đặt vấn đề
Không có cái nút nào trong toán học có đầu dây để bạn lén tháo ra.
Đây là điều hơi mất dạy đầu tiên mà lý thuyết nút (Knot Theory) làm với chúng ta.
Ngoài đời, giả sử dây giày bị thắt thành một cục kinh khủng. Ta có thể ngồi gỡ một lúc, tìm đầu dây, luồn nó qua khe này, kéo nó khỏi khe kia, cuối cùng cái nút biến mất.
Nhà toán học nhìn việc đó rồi bảo:
Không được. Hai đầu dây phải hàn vào nhau.
Thế là sợi dây biến thành một vòng kín.
Không còn đầu.
Không còn chỗ để tháo.
Bây giờ hãy tưởng tượng vòng dây ấy được làm bằng một loại cao su thần thánh. Ta có thể kéo dài nó ra như mì, bóp méo thành con vịt, ép thành cái bánh, xoắn nó quanh bàn, nhưng có ba điều tuyệt đối cấm:
- Không được cắt dây.
- Không được dán hai đoạn dây lại với nhau.
- Không được cho một đoạn dây xuyên xuyên qua đoạn dây khác như ma đi xuyên tường.
Và câu hỏi bắt đầu:
Hai vòng dây nhìn khác nhau có thực sự là hai cái nút khác nhau không?
Nghe giống trò nghịch dây của trẻ con.
Nhưng nếu đào xuống đủ sâu, câu hỏi này dẫn thẳng vào topology, đại số, hình học ba chiều, DNA, vật lý và cả một khu rừng những đa thức kỳ quặc.
Lý thuyết nút bắt đầu từ một sợi dây.
Rồi cái sợi dây ấy quyết định không chịu đơn giản nữa.
Một cái nút trong toán học là gì?
Trong đời thường, ta thường gọi thứ này là nút:
1-------\ /-------
2 \____/
3 / \
4-------/ \-------
Nhưng với toán học, một sợi dây có hai đầu không thú vị lắm.
Vì nếu có đủ không gian và đủ kiên nhẫn, ta thường có thể kéo một đầu dây ra ngoài rồi tháo nó.
Cho nên nhà toán học lấy hai đầu dây và nối chúng lại:
1 __________
2 / \
3 / \
4 \ /
5 \____________/
Đây là một vòng kín.
Vòng đơn giản như trên được gọi là unknot, hay nút tầm thường.
Nó thực ra chẳng thắt gì cả.
Ta có thể bóp méo unknot thành hình quả trứng, hình khoai lang, hình con giun hoặc hình Việt Nam vẽ hơi lỗi, nhưng miễn là không cắt dây thì về bản chất topology nó vẫn chỉ là một vòng tròn.
Một cách viết toán học chính xác hơn là coi một knot như một phép nhúng:
$$ K:S^1\hookrightarrow \mathbb{R}^3 $$
Trong đó:
- $S^1$ đơn giản là một vòng tròn.
- $\mathbb{R}^3$ là không gian ba chiều quen thuộc.
- Ký hiệu $\hookrightarrow$ nói rằng vòng tròn ấy được đặt vào không gian mà không tự xuyên qua chính nó.
Nghe khô khan hơn sợi dây rất nhiều, nhưng ý tưởng vẫn y hệt:
Knot là một vòng dây kín nằm trong không gian ba chiều.
Hai knot được xem là cùng loại nếu ta có thể biến một cái thành cái kia bằng biến dạng liên tục mà không cắt hoặc cho dây xuyên qua nhau. Khái niệm chính xác phía sau chuyện này gọi là ambient isotopy. Đây cũng chính là góc nhìn nền tảng của knot theory hiện đại. (American Mathematical Society)
Nút tam diệp: con quái vật nhỏ nhất
Hãy lấy một vòng dây.
Xoắn nó một chút.
Luồn nó qua chính nó theo đúng cách.
Ta có thể tạo ra trefoil knot, thường dịch là nút tam diệp.
Nếu vẽ trefoil lên giấy, ta thấy ba điểm giao nhau:
1 ______
2 / \
3 ____/ \____
4 / \ / \
5 \ \____/ /
6 \______ ______/
7 \____/
Hình ASCII trên hơi giống một con bạch tuộc vừa bị xe cán, nhưng đại khái ý tưởng là vậy.
Điểm quan trọng là:
trefoil không thể biến thành một vòng tròn đơn giản nếu chúng ta không cắt dây.
Đây là knot không tầm thường đơn giản nhất.
Số giao nhau nhỏ nhất cần thiết để vẽ nó là 3, nên crossing number của trefoil bằng:
$$ c(K)=3 $$
Sau trefoil là figure-eight knot, có crossing number bằng 4.
Rồi bắt đầu có nhiều loại hơn.
5 crossings có 2 prime knots.
6 crossings có 3.
7 crossings có 7.
Đến đây, thứ ban đầu trông như trò nghịch dây bắt đầu biến thành một sở thú.
Và vấn đề lớn xuất hiện.
Làm sao biết hai cái nút có giống nhau?
Giả sử tôi đưa bạn hai hình:
1Knot A Knot B
2
3 ___ __________
4 ___/ \___ / \
5/ \ / \ / ____ \
6\ \_/ / \___/ \___/
7 \_________/
Nhìn khác nhau.
Nhưng có thể chúng chỉ là cùng một sợi dây được kéo sang hai tư thế khác nhau.
Đây chính là thứ khiến knot theory đau đầu.
Hình vẽ không phải bản thân cái knot.
Hình vẽ chỉ là cái bóng hai chiều của một vật ba chiều.
Khi hai đoạn dây giao nhau trên giấy, ta còn phải ghi rõ đoạn nào nằm trên và đoạn nào nằm dưới.
Ví dụ:
1 |
2 |
3------- -------
4 |
5 |
Chỉ nhìn thế này thì chưa đủ.
Ta phải hiểu một đoạn đang bay phía trên đoạn còn lại.
Một cái knot ba chiều vì thế được biến thành một knot diagram hai chiều.
Và lúc này bài toán trở thành:
Có thể biến diagram A thành diagram B mà vẫn giữ nguyên topology hay không?
Đến đây một nhân vật tên Kurt Reidemeister bước vào.
Ba phép thuật Reidemeister
Có một kết quả cực kỳ đẹp trong knot theory.
Muốn thay đổi cách vẽ một knot mà không thay đổi bản chất của nó, về cơ bản chỉ cần ba loại thao tác.
Chúng được gọi là Reidemeister moves. Hai knot diagram biểu diễn cùng một knot khi và chỉ khi có thể nối chúng bằng một chuỗi các phép Reidemeister cùng các biến dạng trên mặt phẳng. (MathWorld)
Reidemeister I: tạo hoặc bỏ một vòng xoắn
Ta có:
1────────────
2
3biến thành
4
5──────╲
6 ○
7──────╱
Bạn kéo dây lên, tạo một vòng nhỏ.
Hoặc làm ngược lại.
Không có dây nào xuyên qua dây nào.
Knot vẫn y nguyên.
Reidemeister II: hai đoạn dây chui vòng qua nhau
Ta có thể tạo hai crossing rồi lại loại bỏ chúng.
Kiểu như hai con rắn vòng qua nhau một chút rồi đổi ý.
1──────────────
2──────────────
3
4 ↕
5
6──────\ /────
7 \/
8 /\
9──────/ \────
Hai crossing xuất hiện hoặc biến mất cùng nhau.
Topology không đổi.
Reidemeister III: trượt một đoạn dây qua crossing
Đây là động tác trông ma thuật nhất.
Một đoạn dây được trượt qua chỗ hai đoạn khác giao nhau:
1 \ | | /
2 \| |/
3---------X---- ↔ ----X---------
4 / \
Không đoạn nào xuyên qua đoạn nào.
Ta chỉ thay đổi vị trí.
Và vẫn là cùng một knot.
Đây là một điều rất mạnh.
Một vật thể ba chiều mềm nhũn, có vô số cách uốn, cuối cùng lại có thể được mô tả bằng ba động tác cục bộ trên một tờ giấy.
Toán học đôi lúc có tính cách rất kỳ lạ.
Nó nhìn một mê cung vô hạn rồi nói:
“Thực ra chỉ có ba cửa.”
Nhưng thử hết Reidemeister moves thì sao?
Nghe tới đây có vẻ bài toán đã xong.
Hai hình knot A và B.
Cứ thử Reidemeister moves.
Nếu biến A thành B thì cùng knot.
Xong thuật toán, quá dễ.
Có điều có một con quỷ nhỏ núp trong chữ “cứ thử”.
Một diagram có thể được biến đổi theo rất nhiều cách.
Mỗi bước lại sinh ra nhiều khả năng tiếp theo.
Thậm chí đôi khi muốn làm hình đơn giản hơn, trước tiên ta phải làm nó phức tạp hơn.
Giống như muốn lấy chiếc sofa ra khỏi căn phòng nhưng trước tiên phải quay nó vào góc nhìn còn mắc hơn.
Không có chiến lược ngây thơ nào kiểu:
cứ giảm số crossing dần dần là sẽ biết.
Một diagram rất phức tạp thậm chí có thể biểu diễn unknot.
Nó chỉ là một vòng tròn vô tội đã bị xoắn thành cục mì.
Cho nên các nhà toán học cần một thứ thông minh hơn.
Họ cần knot invariants.
Knot invariant: căn cước của một cái nút
Giả sử một người thay quần áo.
Áo sáng thành áo đen.
Tóc dài cắt ngắn.
Đeo kính.
Đổi giày.
Nhưng dấu vân tay vẫn còn.
Trong knot theory, ta cũng muốn tìm những đại lượng như vậy.
Một knot invariant là một đặc trưng không thay đổi khi ta bóp méo knot bằng những phép hợp lệ.
Nếu hai knot có invariant khác nhau, chắc chắn chúng khác nhau.
Đây là ý tưởng rất quan trọng:
$$ I(K_1)\neq I(K_2) \Rightarrow K_1\neq K_2 $$
Nhưng chiều ngược lại thường không đúng.
$$ I(K_1)=I(K_2) $$
chưa chắc có nghĩa:
$$ K_1=K_2 $$
Hai người có cùng chiều cao không có nghĩa họ là cùng một người.
Invariant là manh mối.
Không nhất thiết là toàn bộ căn cước.
AMS dành cả những chương riêng cho crossing number, unknotting number, genus và các polynomial invariants như Jones, Alexander hay HOMFLY, vì đây chính là những công cụ trung tâm để phân biệt và nghiên cứu knots. (AMS Bookstore)
Ví dụ cực kỳ dễ thương: tô ba màu
Một trong những invariant dễ hình dung nhất là tricolorability.
Lấy diagram của một knot.
Chia các đoạn dây thành những cung giữa các crossing.
Sau đó chuẩn bị ba màu:
1Đỏ
2Xanh
3Vàng
Ta cố tô màu các đoạn dây sao cho tại mỗi crossing:
- hoặc cả ba đoạn cùng màu;
- hoặc cả ba đoạn mang ba màu khác nhau.
Và toàn bộ knot phải dùng ít nhất hai màu.
Điều thú vị là trefoil làm được chuyện này.
Unknot thì không có một cách tô ba màu không tầm thường tương ứng.
Tính chất tricolorability không thay đổi dưới Reidemeister moves, nên từ đó ta có thể kết luận trefoil không thể chỉ là một vòng tròn bị vẽ rối.
Nói cách khác, ta không cần ngồi kéo sợi dây hàng tỷ lần.
Ta tô màu nó.
Rồi toán học trả lời.
Một cục dây ba chiều vừa bị đánh bại bởi ba cây bút màu.
Đây chính là kiểu khoảnh khắc khiến toán học đáng yêu một cách hơi đáng ngờ.
Khi invariant biến thành đa thức
Tricolorability rất đẹp, nhưng nó chưa đủ mạnh để phân biệt tất cả các knot.
Các nhà toán học vì thế tạo ra những công cụ tinh vi hơn.
Một trong những công cụ nổi tiếng là Alexander polynomial.
Thay vì gắn cho knot một con số, ta gắn cho nó cả một đa thức:
$$ \Delta_K(t) $$
Ví dụ với unknot:
$$ \Delta_{\text{unknot}}(t)=1 $$
Một cách chuẩn hóa thường gặp của trefoil cho:
$$ \Delta_{\text{trefoil}}(t)=t^2-t+1 $$
Alexander polynomial được xác định tới một số quy ước nhân với $\pm t^n$, nhưng ý tưởng quan trọng không nằm ở chi tiết chuẩn hóa.
Điều quan trọng là:
1sợi dây
2 ↓
3diagram
4 ↓
5đại số
6 ↓
7đa thức
Một vật thể bị thắt trong không gian ba chiều bỗng biến thành biểu thức đại số.
Sau đó năm 1984, Vaughan Jones phát hiện một invariant mới gọi là Jones polynomial. Phát hiện này trở thành một trong những bước ngoặt lớn của knot theory và mở ra những liên hệ sâu với braid groups, statistical mechanics và quantum topology. (American Mathematical Society)
Đây là lúc cái dây giày ban đầu đã hoàn toàn mất kiểm soát.
Chúng ta đi từ:
“Hai cái nút này có tháo thành nhau được không?”
sang:
“Hãy nghiên cứu representation của braid group và Laurent polynomial.”
Một đứa trẻ sáu tuổi lúc này có quyền đứng dậy đi uống sữa.
Prime knot: số nguyên tố của thế giới dây
Knot còn có một ý tưởng rất giống số nguyên tố.
Ta biết:
$$ 6=2\times3 $$
$$ 30=2\times3\times5 $$
Các số nguyên lớn có thể được phân tích thành những số nguyên tố nhỏ hơn.
Knot cũng có chuyện tương tự.
Ta có thể lấy hai knot, cắt mỗi cái tại một điểm rồi nối chúng lại thành một knot lớn hơn.
Phép này gọi là connected sum:
$$ K_1#K_2 $$
Nếu một knot không thể phân tách thành connected sum của hai knot không tầm thường, nó được gọi là prime knot.
Trefoil là một prime knot.
Figure-eight cũng vậy.
Ta có thể tưởng tượng prime knots như những viên LEGO cơ bản của thế giới knot.
Một cái knot khổng lồ có thể được ghép từ nhiều knot nhỏ.
Một lần nữa, topology lấy một đống dây rối rồi phát hiện phía dưới nó có cấu trúc giống số học.
Knot khác link như thế nào?
Đến đây ta mới có một vòng dây.
Nhưng nếu có hai vòng?
Ba vòng?
Mười vòng?
Ta bước sang link theory.
Ví dụ đơn giản nhất là Hopf link:
1 _______
2 / \
3 | ___ |
4 | / \ |
5 \_/ \_/
6 \ /
7 \___/
Hai vòng riêng biệt nhưng móc vào nhau.
Không vòng nào tự thắt.
Nhưng chúng không thể tách rời nếu không cắt một vòng.
Ta có thể hỏi thêm một đại lượng gọi là linking number, đo một cách có hướng xem hai component quấn quanh nhau như thế nào.
Vậy knot theory không chỉ hỏi:
Một sợi dây tự thắt ra sao?
Nó còn hỏi:
Nhiều vòng dây có thể mắc vào nhau theo bao nhiêu cách?
Đến đây trí tưởng tượng bắt đầu chạy nhanh hơn cả sợi dây.
Vì sao người ta nghiên cứu thứ này?
Nếu knot theory chỉ dùng để phân loại dây bị thắt thì có lẽ đây vẫn là một ngành toán học rất đẹp.
Nhưng tự nhiên có một sở thích hơi kỳ quặc:
nó cũng thích tạo knot.
DNA có thể bị thắt
DNA là những phân tử rất dài.
Khi một đoạn DNA bị cuộn trong tế bào, nó có thể bị xoắn, mắc hoặc thắt.
Các enzyme như topoisomerase thực hiện những thao tác liên quan đến việc cắt và nối DNA, nên topology của DNA trở thành một công cụ quan trọng để hiểu các quá trình sinh học.
Knot theory vì thế xuất hiện trong nghiên cứu DNA.
Polymer cũng có thể rối
Một phân tử polymer dài giống một sợi mì ở cấp độ phân tử.
Khi hàng triệu chuỗi như vậy chen chúc nhau, chuyện knot và entanglement xuất hiện khá tự nhiên.
Topology có thể ảnh hưởng đến tính chất của vật liệu.
Phân tử có thể mang knot
Các nhà hóa học thậm chí đã tổng hợp những molecular knots: cấu trúc phân tử có topology tương ứng với những knot thật sự.
Vật lý cũng chui vào
Knot theory có liên hệ với statistical mechanics, quantum field theory và nhiều khu vực khác của vật lý toán học.
Một cuốn nhập môn nổi tiếng của Colin Adams thậm chí dành nguyên một chương cho ứng dụng knot theory trong biology, chemistry và physics. (AMS Bookstore)
Từ một vòng dây cao su, ta đi xuống tới cấu trúc của vật chất.
Không phải vì toán học cố tình làm mọi thứ khó lên.
Mà vì thế giới ở tầng sâu vốn đã đầy những thứ quấn lấy nhau.
Điều kỳ lạ nhất của lý thuyết nút
Có một ý tưởng rất đẹp nằm phía sau tất cả chuyện này.
Trong đời sống, chúng ta thường nhận diện vật thể bằng hình dáng.
Một cái cốc trông như cái cốc.
Một cái ghế trông như cái ghế.
Một vòng dây tròn trông khác hoàn toàn một cục dây xoắn tung.
Nhưng topology bảo:
Đừng nhìn hình dáng hiện tại.
Hãy hỏi:
Có thứ gì vẫn còn nguyên dù ta bóp méo vật thể?
Một vòng tròn có thể trở thành hình elip.
Elip có thể biến thành hình khoai lang.
Khoai lang có thể kéo dài thành con giun.
Những hình ấy nhìn chẳng giống nhau.
Nhưng topology bảo chúng vẫn là một thứ.
Ngược lại, trefoil có thể bị kéo thành một hình rất đẹp.
Hoặc một hình rất xấu.
Hoặc một cục hỗn độn khiến người nhìn muốn bỏ nghề.
Nhưng cái nút bên trong vẫn ở đó.
Hình dạng thay đổi.
Topology không đổi.
Và có lẽ đây cũng là bài học triết học nhỏ nằm trong một ngành toán học về dây:
Không phải mọi khác biệt ta nhìn thấy đều là khác biệt bản chất.
Và ngược lại:
Có những khác biệt bản chất mà mắt thường gần như không thể nhìn ra.
Tổng kết
Lý thuyết nút bắt đầu bằng một câu hỏi tưởng như dành cho trẻ con:
Có bao nhiêu cách để thắt một vòng dây?
Nhưng để trả lời nó, ta phải phân biệt giữa hình dáng và cấu trúc.
Một knot là một vòng kín trong không gian ba chiều. Ta được phép kéo, xoắn và bóp méo nó, nhưng không được cắt hoặc cho dây xuyên qua nhau.
Reidemeister cho chúng ta ba phép biến đổi cơ bản để thao tác trên knot diagrams. Sau đó, các knot invariants như tricolorability, crossing number, Alexander polynomial hay Jones polynomial giúp phân biệt những knot mà mắt thường khó nhận ra.
Ý tưởng lớn nhất có lẽ rất đơn giản:
Topology không hỏi một vật đang trông như thế nào.
Nó hỏi:
Sau tất cả những gì ta được phép thay đổi, cái gì vẫn không chịu biến mất?
Với một sợi dây, thứ còn lại có thể là một cái nút.
Với toán học, đôi khi chính những thứ không chịu biến mất ấy mới là thứ đáng nghiên cứu nhất.
Cảm ơn các bạn đã quan tâm và theo dõi bài viết, hẹn gặp lại ở các bài viết tiếp theo.
Tham khảo
- Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society. (AMS Bookstore)
- American Mathematical Society, A Brief Introduction – Problems in Knot Theory. (American Mathematical Society)
- American Mathematical Society, tài liệu về combinatorial knots và Reidemeister moves. (American Mathematical Society)
- Eric W. Weisstein, Reidemeister Moves, Wolfram MathWorld. (MathWorld)
- Eric W. Weisstein, Reidemeister’s Theorem, Wolfram MathWorld. (MathWorld)
- American Mathematical Society Bulletin, bài tổng quan về Jones polynomial và knot theory. (American Mathematical Society)
Bình luận