Đặt vấn đề

Có một điều hơi đáng sợ trong toán học:

mỗi khi chúng ta muốn có thêm tự do, thường phải trả lại cho vũ trụ một luật nào đó.

Số tự nhiên cho ta đếm một con gà, hai con gà, ba con gà.

Nhưng nếu đang có ba con gà mà nợ người hàng xóm năm con thì sao?

Ta phải phát minh ra số âm.

Rồi một ngày có người hỏi:

$$ x^2=-1 $$

Số thực nhìn phương trình này một lúc, khoanh tay:

Không có.

Thế là con người mở thêm một cánh cửa và tạo ra số phức.

Rồi Hamilton muốn một hệ số đủ sức mô tả chuyển động trong không gian ba chiều. Quaternion xuất hiện.

Nhưng mọi chuyện vẫn chưa dừng.

Cuối năm 1843, John T. Graves tiếp tục đẩy ý tưởng đi xa hơn và tìm ra một hệ số tám chiều, sau này được Arthur Cayley nghiên cứu độc lập và trở thành thứ chúng ta gọi là octonion, hay bát nguyên số. (Wikipedia)

Và tại đây toán học bắt đầu có biểu hiện hơi… ngáo.

Bởi vì với octonion:

$$ ab \neq ba $$

đã đành.

Nhưng thậm chí:

$$ (ab)c \neq a(bc) $$

Dấu ngoặc không còn là đồ trang trí.

Đặt nó sang bên trái hay bên phải, câu trả lời có thể đổi dấu.

Một đứa trẻ xếp ba khối LEGO theo hai thứ tự gom nhóm khác nhau, và vũ trụ trả lại hai món đồ khác nhau.

Chào mừng đến với octonion.

Một gia đình càng lớn càng mất nết

Trước khi gặp octonion, hãy nhìn cả gia đình của nó.

 1flowchart LR
 2    R["R<br/>Số thực<br/>1 chiều"]
 3    C["C<br/>Số phức<br/>2 chiều"]
 4    H["H<br/>Quaternion<br/>4 chiều"]
 5    O["O<br/>Octonion<br/>8 chiều"]
 6    S["Sedenion<br/>16 chiều"]
 7
 8    R -->|"nhân đôi"| C
 9    C -->|"nhân đôi"| H
10    H -->|"nhân đôi"| O
11    O -->|"nhân đôi"| S

Một cách rất đẹp để nhìn chuỗi này là:

Quaternion bắt đầu nổi loạn:

$$ ij=k $$

nhưng:

$$ ji=-k $$

Nghĩa là đổi thứ tự phép nhân thì kết quả thay đổi.

Octonion đi thêm một bước nữa.

Không những đổi thứ tự không được, mà đổi cách đặt ngoặc cũng không được.

Quá trình Cayley–Dickson cho thấy một hình ảnh rất thú vị: mỗi lần nhân đôi số chiều, cấu trúc đại số lại mất dần một số tính chất tốt đẹp. Tới octonion, tính kết hợp biến mất; tiếp tục lên sedenion 16 chiều thì xuất hiện cả zero divisor, nên nó không còn là normed division algebra nữa. (Math UCR)

Nó giống như xây một thành phố.

Ban đầu có một con đường.

Sau đó mở rộng thành hai, bốn, tám chiều.

Đường càng nhiều, xe càng chạy tự do.

Nhưng luật giao thông bắt đầu cháy.

Octonion thực sự là cái gì?

Một octonion có dạng:

$$ x = a_0 + a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3 + a_4e_4 + a_5e_5 + a_6e_6 + a_7e_7 $$

trong đó:

$$ a_0,a_1,\ldots,a_7 \in \mathbb{R} $$

Ta có tám thành phần:

$$ 1,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7 $$

Nếu số thực là một điểm chạy trên đường thẳng, số phức sống trên mặt phẳng, quaternion cần bốn chiều, thì octonion sống trong một không gian tám chiều.

Không cần cố tưởng tượng tám chiều bằng mắt.

Não con người vừa tiến hóa đủ tốt để nhìn thấy con mèo đang chạy qua đường, chứ chưa được nhà sản xuất trang bị module render $\mathbb{R}^8$.

Điều quan trọng là mỗi octonion chỉ đơn giản là một vector gồm tám số thực.

Ví dụ:

$$ x=2+3e_1-e_4+5e_7 $$

tương đương với:

$$ (2,3,0,0,-1,0,0,5) $$

Cộng octonion thì rất hiền.

Cộng từng thành phần với nhau là xong.

Phần ma quỷ nằm ở phép nhân.

Bảy căn bậc hai của -1

Với số phức, chúng ta có:

$$ i^2=-1 $$

Quaternion nâng cấp thành ba đơn vị:

$$ i^2=j^2=k^2=-1 $$

Octonion chơi lớn hơn:

$$ e_1^2=e_2^2=\cdots=e_7^2=-1 $$

Bảy thằng đều tự nhận mình là căn bậc hai của $-1$.

Nhưng nếu chỉ có quy tắc đó thì vẫn chưa đủ.

Ta còn phải biết:

$$ e_1e_2=? $$

$$ e_3e_7=? $$

$$ e_5e_4=? $$

Viết bảng nhân $8\times8$ thì được.

Nhưng nhìn nó khoảng ba phút là con người bắt đầu suy nghĩ lại về những lựa chọn trong cuộc đời.

Các nhà toán học có một cách đẹp hơn.

Họ dùng một hình bé tí gọi là Fano Plane.

Fano Plane – bản đồ tà đạo của phép nhân

Fano Plane có:

• 7 điểm
• 7 đường
• mỗi đường chứa đúng 3 điểm
• mỗi cặp điểm nằm trên đúng một đường

Với octonion, bảy điểm tương ứng:

$$ e_1,e_2,\ldots,e_7 $$

Các đường được gắn một hướng.

Nếu trên một đường chúng ta đi theo:

$$ e_i \rightarrow e_j \rightarrow e_k $$

thì:

$$ e_ie_j=e_k $$

và nếu đi ngược chiều:

$$ e_je_i=-e_k $$

Đó gần như là toàn bộ trò chơi. Fano Plane cùng với $e_i^2=-1$ có thể mã hóa toàn bộ phép nhân giữa các đơn vị octonion. (Math UCR)

Trong thực tế có nhiều cách đánh số và định hướng Fano Plane khác nhau. Chúng tương đương về cấu trúc, nhưng bảng nhân cụ thể có thể khác dấu hoặc khác thứ tự.

Ở bài viết này, mình dùng một quy ước phổ biến gồm bảy bộ ba có hướng:

1123
2145
3176
4246
5257
6347
7365

Ví dụ dòng:

1123

nghĩa là:

$$ e_1e_2=e_3 $$

$$ e_2e_3=e_1 $$

$$ e_3e_1=e_2 $$

Còn đi ngược chiều:

$$ e_2e_1=-e_3 $$

Nghe thì có vẻ rắc rối.

Nhưng thực chất Fano Plane giống một cái biển chỉ đường.

Đi đúng chiều: dấu dương.

Đi ngược chiều: dấu âm.

Xong thuật toán, quá dễ.

Cho đến khi dấu ngoặc xuất hiện.

Khoảnh khắc dấu ngoặc nổi dậy

Đây là phần làm octonion nổi tiếng.

Với số bình thường:

$$ (2\times3)\times4

2\times(3\times4) $$

Hai bên đều bằng 24.

Quaternion tuy không giao hoán nhưng vẫn kết hợp:

$$ (ab)c=a(bc) $$

Octonion thì không hứa điều đó.

Ta thử:

$$ (e_1e_2)e_4 $$

Theo quy ước phía trên:

$$ e_1e_2=e_3 $$

nên:

$$ (e_1e_2)e_4=e_3e_4=e_7 $$

Bây giờ đổi ngoặc:

$$ e_1(e_2e_4) $$

Ta có:

$$ e_2e_4=e_6 $$

nên:

$$ e_1(e_2e_4)=e_1e_6 $$

Theo bộ ba $176$:

$$ e_1e_6=-e_7 $$

Vậy:

$$ \boxed{(e_1e_2)e_4=e_7} $$

nhưng:

$$ \boxed{e_1(e_2e_4)=-e_7} $$

Hai dấu ngoặc.

Hai kết quả.

Một dấu cộng.

Một dấu trừ.

Nếu đây là JavaScript thì có lẽ chúng ta đã mở Stack Overflow.

Nhưng đây không phải bug.

Đây chính là luật.

Không kết hợp không có nghĩa là hỗn loạn

Đến đây rất dễ nghĩ:

Nếu dấu ngoặc cũng không tin được thì octonion dùng làm gì?

May mắn là octonion không hoàn toàn vô chính phủ.

Nó thỏa một tính chất yếu hơn gọi là alternativity.

Ví dụ:

$$ (xx)y=x(xy) $$

và:

$$ y(xx)=(yx)x $$

Quan trọng hơn, bất kỳ đại số con nào được sinh bởi hai octonion đều là associative.

Hiểu theo kiểu đời thường:

Nếu chỉ có hai nhân vật $a$ và $b$ chơi với nhau, mọi thứ vẫn tương đối tử tế.

Rắc rối thực sự xuất hiện khi có ba hướng độc lập bước vào phòng.

John Baez mô tả octonion là normed division algebra lớn nhất trong bốn hệ $\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O$; dù không associative, nó vẫn alternative và giữ được đủ cấu trúc để phép chia cho phần tử khác 0 hoạt động. (Math UCR)

Đây là điểm rất đẹp.

Octonion đứng ngay sát mép vực.

Nó đã bỏ tính giao hoán.

Nó đã bỏ tính kết hợp.

Nhưng vẫn chưa rơi xuống.

Thêm một bước nữa lên 16 chiều thì dây bắt đầu đứt.

Norm – thứ vẫn còn sống sót

Với octonion:

$$ x=a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7 $$

ta định nghĩa liên hợp:

$$ \bar{x}

a_0-a_1e_1-\cdots-a_7e_7 $$

và norm:

$$ |x|

\sqrt{ a_0^2+a_1^2+\cdots+a_7^2 } $$

Điều kỳ diệu là:

$$ |xy|=|x||y| $$

Đây chính là tính chất quan trọng của normed division algebra.

Nếu:

$$ x\neq0 $$

thì:

$$ x^{-1}

\frac{\bar{x}}{|x|^2} $$

vẫn tồn tại.

Nghĩa là octonion tuy hơi điên, nhưng chưa điên đến mức không chia được.

Và đây dẫn tới một định lý rất đẹp của Hurwitz:

trên số thực, chỉ có bốn normed division algebra hữu hạn chiều:

$$ \boxed{ \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O} } $$

với số chiều:

$$ \boxed{ 1,\ 2,\ 4,\ 8 } $$

Không có phiên bản 3 chiều.

Không có 5 chiều.

Không có 6 chiều.

Không có 7 chiều.

Trong lớp cấu trúc này, thiên nhiên dường như chỉ mở đúng bốn cánh cửa. (Math UCR)

Cayley–Dickson: chiếc máy cứ bấm nút là nhân đôi thế giới

Một cách xây octonion rất hay là Cayley–Dickson construction.

Ý tưởng cực kỳ đơn giản.

Số phức có thể xem như hai số thực:

$$ (a,b) $$

Quaternion có thể xem như hai số phức.

Octonion có thể xem như hai quaternion.

Nếu:

$$ a,b,c,d\in\mathbb H $$

thì một octonion có thể viết:

$$ (a,b) $$

Theo một quy ước Cayley–Dickson, phép nhân được định nghĩa:

$$ (a,b)(c,d)

(ac-db^*,\ a^*d+cb) $$

và liên hợp:

$$ (a,b)^*

(a^*,-b) $$

Nói đơn giản:

1Real
2   ↓ ghép đôi
3Complex
4   ↓ ghép đôi
5Quaternion
6   ↓ ghép đôi
7Octonion
8   ↓ ghép đôi
9Sedenion

Có một cái máy.

Mỗi lần bấm nút:

12 chiều → 4 chiều → 8 chiều → 16 chiều

Nhưng chiếc máy không cho đồ miễn phí.

Mỗi lần bấm, một số luật cũ bắt đầu biến mất.

Baez dùng chính Cayley–Dickson construction để giải thích vì sao quaternion trở thành non-commutative và vì sao octonion trở thành non-associative. (Math UCR)

Đây có lẽ là phần triết học đẹp nhất của câu chuyện.

Thêm chiều không chỉ là thêm chỗ.

Đôi khi thêm chiều nghĩa là phải thay đổi cả định nghĩa về trật tự.

Viết thử octonion bằng Python

Để thấy nó không phải phép thuật, ta có thể viết phiên bản rất nhỏ.

Ta chỉ cần lưu bảy bộ ba của Fano Plane.

 1TRIPLES = [
 2    (1, 2, 3),
 3    (1, 4, 5),
 4    (1, 7, 6),
 5    (2, 4, 6),
 6    (2, 5, 7),
 7    (3, 4, 7),
 8    (3, 6, 5),
 9]
10
11rules = {}
12
13for i, j, k in TRIPLES:
14    rules[i, j] = (1, k)
15    rules[j, k] = (1, i)
16    rules[k, i] = (1, j)
17
18    rules[j, i] = (-1, k)
19    rules[k, j] = (-1, i)
20    rules[i, k] = (-1, j)
21
22
23def basis_mul(i, j):
24    if i == 0:
25        return 1, j
26
27    if j == 0:
28        return 1, i
29
30    if i == j:
31        return -1, 0
32
33    return rules[i, j]

Ở đây:

10 = 1
21 = e1
32 = e2
4...
57 = e7

Ví dụ:

1print(basis_mul(1, 2))

ta nhận:

1(1, 3)

nghĩa là:

$$ e_1e_2=e_3 $$

Trong khi:

1print(basis_mul(2, 1))

sẽ cho:

1(-1, 3)

hay:

$$ e_2e_1=-e_3 $$

Nếu mở rộng đoạn code này để nhân hai vector tám chiều, chúng ta đã có một implementation octonion đơn giản.

Không cần cổng lượng tử.

Không cần GPU.

Chỉ cần bảy bộ ba và một chút niềm tin vào dấu ngoặc.

Tại sao toán học lại quan tâm một thứ kỳ quặc như vậy?

Nếu octonion chỉ là một trò ghép số vui vẻ thì có lẽ nó đã nằm yên trong một cuốn sách từ thế kỷ XIX.

Nhưng vấn đề là:

octonion cứ xuất hiện ở những nơi rất kỳ lạ.

Nhóm đối xứng đặc biệt $G_2$

Nhóm các phép biến đổi bảo toàn phép nhân của octonion tạo thành exceptional Lie group:

$$ G_2 $$

Nói nôm na, nếu ta xoay hoặc biến đổi thế giới octonion nhưng toàn bộ luật nhân vẫn giữ nguyên, tập các đối xứng đó có cấu trúc $G_2$.

Đây không phải một nhóm đối xứng bình thường.

$G_2$ là nhóm nhỏ nhất trong năm exceptional simple Lie groups. Octonion cũng đóng vai trò trung tâm trong nhiều construction liên quan đến $F_4,E_6,E_7,E_8$. (Math UCR)

Nếu toán học là một khu rừng, thì $E_8$ giống một con thú khổng lồ mà lâu lâu người ta thấy dấu chân.

Và khá nhiều con đường lần theo dấu chân ấy lại dẫn về octonion.

Không gian bảy chiều

Phần thuần ảo của octonion:

$$ a_1e_1+\cdots+a_7e_7 $$

có bảy chiều.

Từ phép nhân octonion, người ta có thể xây một phiên bản của cross product trong $\mathbb R^7$.

Điều này liên quan đến một sự thật rất đặc biệt: cross product có những phiên bản đặc biệt ở ba và bảy chiều, và octonion chính là một phần của câu chuyện phía sau chiều 7.

Spinor, supersymmetry và vật lý lý thuyết

Octonion còn xuất hiện trong các mối liên hệ với:

• Clifford algebra
• spinor
• Lorentzian geometry
• supersymmetry
• string theory
• quantum logic

John Baez dành cả một khảo cứu dài cho mạng lưới liên hệ giữa octonion với các cấu trúc này. (Math UCR)

Điều cần lưu ý là:

không nên hiểu rằng mọi mô hình vật lý hiện đại đều “chạy bằng octonion”.

Vai trò của chúng thường sâu hơn và trừu tượng hơn: octonion xuất hiện trong các cấu trúc đối xứng, biểu diễn và những chiều không gian đặc biệt mà vật lý lý thuyết quan tâm.

Octonion có dùng để xoay vật thể 3D như quaternion không?

Về lý thuyết, octonion có thể mô tả những cấu trúc hình học thú vị.

Nhưng nếu mục tiêu chỉ là:

xoay camera trong game

thì đừng lôi octonion ra.

Quaternion đã làm việc đó rất đẹp.

Quaternion:

• chỉ có 4 thành phần
• associative
• hiệu quả
• được hỗ trợ rộng rãi
• rất phù hợp với rotation 3D

Octonion có 8 thành phần và không associative, khiến nhiều phép biến đổi quen thuộc trở nên phức tạp hơn rất nhiều.

Octonion không phải:

Quaternion Pro Max 8D.

Nó là một sinh vật khác.

Giống như mua máy xúc để mở nắp chai nước.

Làm được gì đó chưa chắc đã có nghĩa là nên làm.

Điều thú vị nhất không phải số 8

Điều đẹp nhất của octonion không nằm ở chuyện nó có tám thành phần.

Mà nằm ở biên giới nó đại diện.

Ta bắt đầu từ số thực.

Mọi thứ yên bình.

Rồi tăng tự do.

Số phức xuất hiện.

Tăng tiếp.

Quaternion bỏ giao hoán.

Tăng tiếp.

Octonion bỏ kết hợp.

Tăng tiếp nữa.

Sedenion xuất hiện zero divisor và không còn là normed division algebra. (Math UCR)

1Thêm chiều
2   ↓
3Thêm khả năng
4   ↓
5Mất một số luật
6   ↓
7Cấu trúc trở nên kỳ lạ hơn

Có một trực giác rất hay ở đây.

Trong kỹ thuật phần mềm, ta cũng thường gặp chuyện tương tự.

Một hệ thống single-thread rất dễ suy luận.

Cho nó concurrency.

Ta mất thứ tự thực thi đơn giản.

Cho nó distributed.

Ta mất một số giả định về trạng thái toàn cục.

Cho nó network partition.

Ta phải lựa chọn consistency, availability và nhiều thứ khác.

Thêm năng lực thường đồng nghĩa với việc phải sống trong một thế giới có ít đảm bảo hơn.

Octonion giống như phiên bản đại số của chuyện ấy.

Không phải toán học trở nên “sai”.

Mà là chúng ta đã bước sang một thế giới rộng hơn, nơi luật cũ không còn bắt buộc phải đúng.

Một điều khá điên: bên trong octonion vẫn chứa cả gia đình

Fano Plane còn cho ta một hình ảnh rất đẹp.

Một số cấu trúc con của octonion tương ứng với quaternion.

Bên trong quaternion lại có những cấu trúc giống số phức.

Và bên trong số phức là số thực. (Math UCR)

Có thể hình dung:

1Octonion O
2└── Quaternion H
3    └── Complex C
4        └── Real R

Giống một con búp bê Nga.

Mở octonion ra.

Có quaternion.

Mở quaternion ra.

Có complex.

Mở complex ra.

Cuối cùng vẫn thấy một số thực đang ngồi im ở giữa.

Thằng này từ đầu tới cuối không làm gì sai cả.

Tổng kết

Octonion là hệ số tám chiều:

$$ \mathbb O

\operatorname{span} {1,e_1,\ldots,e_7} $$

Nó có một số tính chất rất đặc biệt:

• có 8 chiều
• không giao hoán
• không kết hợp
• nhưng vẫn alternative
• vẫn có norm nhân được
• mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo
• phép nhân có thể ghi nhớ bằng Fano Plane
• là một trong đúng bốn normed division algebra thực
• liên hệ sâu với $G_2$, $E_8$, spinor và nhiều cấu trúc đặc biệt khác

Nhưng có lẽ bài học thú vị nhất không nằm ở công thức.

Nó nằm ở dấu ngoặc.

Chúng ta thường nhìn:

$$ (ab)c $$

và:

$$ a(bc) $$

rồi mặc định hai thứ đó giống nhau.

Bởi vì từ nhỏ đến lớn, số học đã huấn luyện não chúng ta như vậy.

Octonion bước tới và nói:

Không. Đó chỉ là một luật mà thế giới số quen thuộc của anh tình cờ có.

Bỏ luật ấy đi, toán học không sụp đổ.

Một thế giới khác xuất hiện.

Kỳ quặc hơn.

Khó suy luận hơn.

Nhưng đồng thời lại chứa những đối xứng đẹp đến mức chúng nối với một số cấu trúc sâu nhất mà toán học hiện đại từng tìm thấy.

Có lẽ đó cũng là lý do octonion hấp dẫn.

Nó nhắc chúng ta rằng những thứ tưởng như hiển nhiên đôi khi chỉ là thói quen.

Ngay cả một dấu ngoặc cũng có triết học của riêng nó.

Tham khảo

• John C. Baez, The Octonions, Bulletin of the American Mathematical Society 39 (2002), 145–205. The Octonions – John C. Baez
• John C. Baez, The Cayley–Dickson Construction. Cayley–Dickson Construction
• John C. Baez, The Fano Plane. The Fano Plane
• Wikimedia Commons, minh họa Fano Plane cho phép nhân octonion. FanoPlane.svg
• John C. Baez, Division Algebras and Quantum Theory.