Đặt vấn đề: Có một thế giới nơi 1 và 1025 đứng cạnh nhau

Có một điều chúng ta gần như tin từ lúc còn bé:

1 gần 2. 1 rất xa 1000.

Nghe quá đúng.

Nếu có hai cây kem, một cây giá 10.000 đồng và một cây giá 11.000 đồng, chúng khá gần nhau.

Một cây 10.000 đồng và một cây 10 triệu đồng thì thôi, chúng đã thuộc hai nền văn minh khác nhau.

Toán học bình thường cũng nghĩ như vậy.

Khoảng cách giữa hai số (x) và (y) được tính bằng:

$$ d(x,y)=|x-y| $$

Ví dụ:

$$ d(1,2)=1 $$

còn:

$$ d(1,1025)=1024 $$

Rõ ràng 1 và 1025 đứng rất xa nhau.

Nhưng rồi vào cuối thế kỷ XIX, Kurt Hensel xuất hiện và về cơ bản nói:

Khoan.

Biết đâu chúng ta không cần đo khoảng cách bằng độ lớn của hiệu?

Biết đâu có một cách nhìn khác, trong đó hai số càng giống nhau về khả năng chia hết cho (p), chúng càng gần nhau?

Và thế là một thế giới hơi ngáo ngơ nhưng hoàn toàn nghiêm túc xuất hiện:

thế giới số p-adic.

Ở đó, nếu chọn:

$$ p=2 $$

thì:

$$ 1025-1=1024=2^{10} $$

Hiệu của 1 và 1025 chia hết cho (2^{10}).

Vì thế khoảng cách 2-adic giữa chúng là:

$$ d_2(1,1025)=\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024} $$

Trong thế giới thông thường:

11 ---------------------------------------------- 1025

Trong thế giới 2-adic:

11   1025
2|---|
3rất gần

Một nghịch lý nhỏ bắt đầu bò ra khỏi chiếc hộp.

1 và 1025, hóa ra, có thể ở rất gần nhau.

Không phải vì con số 1025 nhỏ.

Mà vì bên dưới lớp da thập phân của nó, hai số này có một thứ giống nhau sâu đến mười tầng.

Đó là:

11025 ≡ 1 (mod 2)
21025 ≡ 1 (mod 4)
31025 ≡ 1 (mod 8)
41025 ≡ 1 (mod 16)
5...
61025 ≡ 1 (mod 1024)

Chúng giống nhau modulo (2).

Giống modulo (4).

Giống modulo (8).

Rồi (16).

Rồi (32).

Càng đào xuống sâu, chúng vẫn chưa chịu khác nhau.

Và trong thế giới p-adic, đó mới là thứ gọi là gần gũi.

Khoảng cách thật ra là một luật chơi

Đây là phần thú vị nhất.

Chúng ta thường nghĩ khoảng cách là thứ tồn tại sẵn trong vũ trụ.

Một mét là một mét.

Hai vật gần nhau thì gần nhau.

Hai số cách xa nhau thì cách xa nhau.

Nhưng toán học nói rằng không hẳn.

Trước tiên, ta phải chọn cách đo.

Ví dụ trên mặt phẳng thông thường, từ:

1A ---- B

ta lấy thước ra đo.

Nhưng nếu hai thành phố nằm trên bản đồ tàu điện, khoảng cách hữu ích có khi không phải số kilomet.

Hai ga có thể cách nhau chỉ 500 mét nhưng phải đổi ba tuyến tàu.

Trong khi hai ga cách 5 km lại nằm cùng một tuyến.

“Xa” và “gần” phụ thuộc vào thứ mà chúng ta đang quan tâm.

Số p-adic cũng làm đúng trò đó.

Nó nói:

Tôi không quan tâm hai số chênh lệch bao nhiêu. Tôi quan tâm hiệu của chúng chứa bao nhiêu số (p).

Đó là một cách nhìn hoàn toàn khác về số học.

Bài toán chính: Đếm xem có bao nhiêu số p đang trốn bên trong

Trước tiên ta chọn một số nguyên tố:

$$ p=2,3,5,7,11,\dots $$

Không chọn 6.

Không chọn 10.

Ở phiên bản p-adic chuẩn, (p) phải là số nguyên tố.

Bây giờ lấy:

$$ 40 $$

Ta phân tích:

$$ 40=2^3\times5 $$

Có ba số 2 nằm trong 40.

Ta viết:

$$ v_2(40)=3 $$

Ký hiệu (v_p(x)) được gọi là p-adic valuation.

Nó trả lời một câu hỏi cực kỳ đơn giản:

(x) chia hết cho (p) được bao nhiêu lần?

Ví dụ:

$$ 24=2^3\times3 $$

nên:

$$ v_2(24)=3 $$

Còn:

$$ 48=2^4\times3 $$

nên:

$$ v_2(48)=4 $$

Và:

$$ 1250=2\times5^4 $$

nên:

$$ v_5(1250)=4 $$

Định nghĩa chính xác hơn là:

$$ v_p(n)=k $$

nếu:

$$ p^k\mid n $$

nhưng:

$$ p^{k+1}\nmid n $$

Tức là (p^k) còn chia được, nhưng thêm một (p) nữa thì chịu.

Với số hữu tỷ:

$$ x=\frac{a}{b} $$

ta mở rộng bằng:

$$ v_p(x)=v_p(a)-v_p(b) $$

Đây chính là nền móng của khoảng cách p-adic. (Encyclopedia of Mathematics)

Từ valuation đến một chiếc thước đo kỳ quặc

Sau khi có (v_p(x)), ta định nghĩa chuẩn p-adic:

$$ |x|_p=p^{-v_p(x)} $$

với:

$$ |0|_p=0 $$

Nghe hơi đáng sợ.

Thực ra ý tưởng rất dễ.

Càng chia hết cho nhiều (p), số đó càng nhỏ theo chuẩn p-adic.

Ví dụ chọn:

$$ p=2 $$

Ta có:

$$ |1|_2=1 $$

vì 1 không chia hết cho 2.

Với:

$$ 2=2^1 $$

ta có:

$$ |2|_2=\frac12 $$

Với:

$$ 8=2^3 $$

ta có:

$$ |8|_2=\frac18 $$

Với:

$$ 1024=2^{10} $$

ta có:

$$ |1024|_2=\frac1{1024} $$

Tới đây trực giác thông thường bắt đầu la hét.

Trong thế giới số thực:

11 < 2 < 8 < 1024

Nhưng theo chuẩn 2-adic:

1|1|₂    = 1
2|2|₂    = 1/2
3|8|₂    = 1/8
4|1024|₂ = 1/1024

Số càng chứa nhiều số 2 thì càng nhỏ.

Không phải nhỏ về giá trị thông thường.

Mà nhỏ theo chiếc thước 2-adic.

Hai số gần nhau khi nào?

Bây giờ ta định nghĩa khoảng cách:

$$ d_p(x,y)=|x-y|_p $$

Đây chính là câu quan trọng nhất của cả bài.

Hai số (x) và (y) gần nhau khi:

$$ x-y $$

chia hết cho một lũy thừa lớn của (p).

Nói cách khác, nếu:

$$ x\equiv y\pmod{p^k} $$

với (k) càng lớn, thì (x) và (y) càng gần nhau.

Định nghĩa p-adic chính thức được xây dựng chính từ quan hệ chia hết này, và trường (\mathbb Q_p) có thể được xem như phép “hoàn thiện” các số hữu tỷ theo chuẩn p-adic, tương tự cách (\mathbb R) hoàn thiện (\mathbb Q) theo khoảng cách thông thường. (Encyclopedia of Mathematics)

Ví dụ: 1 và 3

Chọn (p=2):

$$ 3-1=2 $$

nên:

$$ v_2(2)=1 $$

và:

$$ d_2(1,3)=\frac12 $$

1 và 5

$$ 5-1=4=2^2 $$

nên:

$$ d_2(1,5)=\frac14 $$

1 và 17

$$ 17-1=16=2^4 $$

nên:

$$ d_2(1,17)=\frac1{16} $$

1 và 1025

$$ 1025-1=1024=2^{10} $$

nên:

$$ d_2(1,1025)=\frac1{1024} $$

Ta có một bảng khá buồn cười:

Trong thế giới thông thường, chúng chạy ngày càng xa khỏi 1.

Trong thế giới 2-adic, chúng lại:

11
2← 3
3← 5
4← 17
5← 1025

ngày càng bò sát vào 1.

Cùng một dãy số.

Hai chiếc thước.

Hai vũ trụ khác nhau.

Một cách nhìn khác: p-adic giống như cây gia phả

Có một cách hình dung p-adic dễ hơn rất nhiều.

Giả sử (p=2).

Đầu tiên ta hỏi một số:

Bạn dư bao nhiêu khi chia cho 2?

Chỉ có hai câu trả lời:

1             mọi số nguyên
2              /       \
3          dư 0         dư 1

Sau đó chia theo modulo 4:

1                  Z
2             /         \
3          mod 2       mod 2
4            0            1
5          /   \        /   \
6         0     2      1     3
7              mod 4

Tiếp tục modulo 8.

Rồi modulo 16.

Rồi modulo 32.

Cây cứ mọc xuống mãi.

Hai số càng đi chung một nhánh lâu thì càng gần nhau.

Ví dụ:

11
25
317
41025

đều:

1≡ 1 mod 2

Nhưng 1 và 5 còn:

1≡ 1 mod 4

1 và 17 còn giống nhau tới:

1mod 16

Còn 1 và 1025 giống nhau tận:

1mod 1024

Có thể tưởng tượng mỗi số mang theo một cây gia phả.

Không hỏi:

Nhà hai đứa cách nhau bao nhiêu kilomet?

Mà hỏi:

Hai đứa có chung tổ tiên đến đời thứ mấy?

Đó là linh hồn của khoảng cách p-adic.

Một tam giác rất kỳ quặc

Khoảng cách thông thường thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

$$ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $$

Đi từ nhà tới trường qua tiệm bánh không thể ngắn hơn một cách phép thuật so với khoảng cách của từng đoạn cộng lại.

Nhưng khoảng cách p-adic còn thỏa mãn một điều mạnh hơn:

$$ d_p(x,z)\le \max\left(d_p(x,y),d_p(y,z)\right) $$

Đây gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh hay tính chất ultrametric. (Encyclopedia of Mathematics)

Nó làm hình học p-adic trở nên rất lạ.

Trong một không gian ultrametric, tam giác thường không có ba cạnh “lộn xộn” như bình thường.

Hai cạnh dài nhất sẽ bằng nhau.

Một hình tam giác tưởng rằng sẽ như:

1      A
2     / \
3    /   \
4   B-----C

lại mang cấu trúc khoảng cách gần giống:

1       A
2      / \
3     /   \
4    B-----C
5
6hai cạnh lớn nhất bằng nhau

Chưa hết.

Trong một quả cầu p-adic, bất kỳ điểm nào bên trong cũng có thể làm tâm quả cầu.

Hai quả cầu p-adic nếu giao nhau thì thường một quả sẽ nằm trong quả kia.

Nếu không thì chúng tách rời hoàn toàn.

Không gian này giống những chiếc hộp:

 1┌──────────────────────────────┐
 2│                              │
 3│   ┌──────────────────────┐   │
 4│   │                      │   │
 5│   │   ┌──────────────┐   │   │
 6│   │   │              │   │   │
 7│   │   └──────────────┘   │   │
 8│   └──────────────────────┘   │
 9│                              │
10└──────────────────────────────┘

Thế giới p-adic không thích hai vùng chồng chéo nhau nửa nạc nửa mỡ.

Hoặc nằm trong nhau.

Hoặc tách nhau.

Rất dứt khoát.

Số p-adic trông như thế nào?

Đây là đoạn bắt đầu hơi ma thuật.

Một số p-adic có thể viết dưới dạng:

$$ x=\sum_{k=k_0}^{\infty}a_kp^k $$

với:

$$ 0\le a_k<p $$

Đây là dạng khai triển chuẩn của số p-adic. (Encyclopedia of Mathematics)

Nhìn khá giống biểu diễn số theo cơ số (p).

Nhưng có một khác biệt kỳ quái.

Trong số thực, ta quen với chuỗi vô hạn chạy về bên phải:

13.141592653589793...

Các chữ số ngày càng nhỏ:

$$ 10^{-1},10^{-2},10^{-3},\dots $$

Trong p-adic, chuỗi vô hạn lại chạy về phía các lũy thừa ngày càng lớn của (p).

Nếu viết theo kiểu chữ số, nó giống như kéo dài vô tận về bên trái.

Ví dụ trong 2-adic:

$$ -1=1+2+4+8+16+\cdots $$

Nghe vô lý.

Trong số thực:

$$ 1+2+4+8+\cdots $$

chạy thẳng tới vô cực.

Nhưng xem các tổng từng phần:

11
23
37
415
531
663
7...

Ta có:

$$ 1=2^1-1 $$

$$ 3=2^2-1 $$

$$ 7=2^3-1 $$

$$ 15=2^4-1 $$

Tổng quát:

$$ S_n=2^{n+1}-1 $$

Khoảng cách 2-adic giữa (S_n) và (-1) là:

$$ |S_n-(-1)|_2

|2^{n+1}|_2

\frac1{2^{n+1}} $$

và khi:

$$ n\rightarrow\infty $$

thì:

$$ \frac1{2^{n+1}}\rightarrow0 $$

Vì vậy, trong thế giới 2-adic:

$$ 1+2+4+8+\cdots=-1 $$

Không có phép thuật nào cả.

Chỉ là chúng ta đã thay chiếc thước.

Nếu viết theo cơ số 2, ta có hình ảnh rất đẹp:

1...111111111111111₂ = -1

Một con số kéo dài vô hạn về bên trái, và cuối cùng lại bằng âm một.

Toán học thỉnh thoảng trông giống như đã uống nhầm thứ gì đó.

Nhưng từng bước của nó vẫn hoàn toàn hợp logic.

Tại sao phải tạo ra cả một thế giới kỳ cục như vậy?

Đây là câu hỏi hợp lý.

Nếu số thực đang dùng ngon lành, tại sao Hensel lại dựng thêm một vũ trụ?

Câu trả lời nằm ở những bài toán kiểu:

$$ f(x)=0 $$

nhưng thay vì giải trực tiếp, ta bắt đầu bằng việc hỏi:

1Có nghiệm modulo p không?

Sau đó:

1Có nghiệm modulo p² không?

Rồi:

1mod p³?
2mod p⁴?
3mod p⁵?
4...

Mỗi bước như một chiếc kính hiển vi.

Ta không cố nhìn toàn bộ con số ngay lập tức.

Ta nhìn nó chính xác hơn từng tầng.

1mod p
2    ↓
3mod p²
4    ↓
5mod p³
6    ↓
7mod p⁴
8    ↓
9...

Nếu các nghiệm ở từng tầng tương thích với nhau, chuỗi đó có thể hội tụ thành một số p-adic.

Đây chính là nơi Hensel’s lemma xuất hiện.

Hensel’s lemma: sửa nghiệm từng chút một

Hensel’s lemma có thể xem như một người anh em p-adic của phương pháp Newton.

Nói rất đơn giản:

Nếu ta có một nghiệm đủ tốt modulo (p), và đạo hàm tại đó không bị hỏng theo một số điều kiện nhất định, ta thường có thể nâng nghiệm ấy lên modulo (p^2,p^3,\dots), rồi thu được một nghiệm p-adic thực sự.

Một phiên bản quen thuộc: nếu

$$ f(a)\equiv0\pmod p $$

và:

$$ f’(a)\not\equiv0\pmod p $$

thì nghiệm đơn (a) modulo (p) có thể nâng duy nhất lên các lũy thừa cao hơn của (p). Hensel’s lemma là một trong những công cụ trung tâm kết nối nghiệm modulo prime powers với nghiệm p-adic. (MathWorld)

Một ví dụ khá đẹp

Xét:

$$ x^2+1=0 $$

hay:

$$ x^2=-1 $$

Trong số thực, không có nghiệm.

Nhưng thử modulo 5:

$$ 2^2+1=5 $$

nên:

$$ 2^2+1\equiv0\pmod5 $$

Ta bắt đầu từ:

1x = 2 mod 5

Bây giờ tìm nghiệm modulo 25.

Thử:

$$ x=7 $$

ta có:

$$ 7^2+1=50 $$

và:

$$ 50\equiv0\pmod{25} $$

Nên:

1x = 7 mod 25

Tiếp tục modulo 125.

Ta tìm được:

$$ x=57 $$

vì:

$$ 57^2+1=3250 $$

và:

$$ 3250=26\times125 $$

Do đó:

12 mod 5
2   ↓
37 mod 25
4   ↓
557 mod 125
6   ↓
7...

Các nghiệm ngày càng chính xác hơn theo nghĩa 5-adic.

Và cuối cùng chúng hội tụ tới một số trong:

$$ \mathbb Q_5 $$

thỏa mãn:

$$ x^2=-1 $$

Thứ không tồn tại trong (\mathbb R) lại có thể tồn tại trong (\mathbb Q_5). MathWorld cũng dùng chính (x^2+1) trong (\mathbb Q_5) như một ví dụ điển hình cho Hensel’s lemma. (MathWorld)

Đây là một ý tưởng rất quan trọng:

một phương trình không chỉ có câu hỏi “có nghiệm hay không”.

Ta còn có thể hỏi:

Có nghiệm trong thế giới nào?

Số thực là một thế giới.

Số phức là một thế giới.

Số 2-adic là một thế giới.

Số 3-adic là một thế giới.

Số 5-adic lại là một thế giới khác.

Mỗi nơi soi cùng một phương trình bằng một chiếc đèn khác.

Tự tính p-adic valuation bằng Python

Nếu chỉ muốn nghịch thử với số nguyên, code cực kỳ ngắn:

 1def p_adic_valuation(n, p):
 2    if n == 0:
 3        return float("inf")
 4
 5    n = abs(n)
 6    k = 0
 7
 8    while n % p == 0:
 9        n //= p
10        k += 1
11
12    return k

Ví dụ:

1print(p_adic_valuation(40, 2))
2print(p_adic_valuation(1024, 2))
3print(p_adic_valuation(1250, 5))

Kết quả:

13
210
34

Ta có thể tính khoảng cách đơn giản:

1def p_adic_distance(a, b, p):
2    if a == b:
3        return 0
4
5    v = p_adic_valuation(a - b, p)
6    return p ** (-v)

Thử:

1for x in [2, 3, 5, 17, 1025]:
2    print(x, p_adic_distance(1, x, 2))

Kết quả:

12    1
23    0.5
35    0.25
417   0.0625
51025 0.0009765625

Ta đang nhìn thấy 1025 lao về phía 1.

Không phải trên trục số quen thuộc.

Mà trên một hình học khác.

Vì sao p phải là số nguyên tố?

Có thể sẽ có người hỏi:

Tôi thích số 10. Tôi làm 10-adic được không?

Có thể xây dựng các cấu trúc liên quan đến chuẩn theo modulo (10^n), nhưng nó không cho ta một trường p-adic chuẩn giống (\mathbb Q_p).

Lý do sâu xa là số nguyên tố là những “nguyên tử” của phép nhân.

Mọi số nguyên dương đều phân tích duy nhất thành:

$$ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} $$

Các valuation:

$$ v_2(n),v_3(n),v_5(n),\dots $$

tách từng nguyên tử ấy ra để quan sát.

Ví dụ:

$$ 360=2^3\times3^2\times5 $$

thì:

$$ v_2(360)=3 $$

$$ v_3(360)=2 $$

$$ v_5(360)=1 $$

Mỗi số nguyên tố là một chiếc kính riêng.

Một chiếc kính chỉ nhìn số 2.

Một chiếc chỉ nhìn số 3.

Một chiếc chỉ nhìn số 5.

Cùng một số 360, nhưng mỗi kính nhìn thấy một cấu trúc khác nhau.

Số thực và số p-adic: hai cách hoàn thiện cùng một Q

Đây có lẽ là phần đẹp nhất về mặt triết học.

Bắt đầu với số hữu tỷ:

$$ \mathbb Q $$

Ta biết (\mathbb Q) có “lỗ”.

Ví dụ:

$$ \sqrt2 $$

không phải số hữu tỷ.

Nếu dùng khoảng cách thông thường rồi lấp đầy mọi giới hạn còn thiếu, ta thu được:

$$ \mathbb R $$

Có thể hình dung:

1Q
2│
3│ hoàn thiện bằng |x-y|
4▼
5R

Nhưng đó không phải lựa chọn duy nhất.

Ta có thể chọn chuẩn 2-adic:

1Q
2│
3│ hoàn thiện bằng |x-y|₂
4▼
5Q₂

Hoặc:

1Q → Q₃
2Q → Q₅
3Q → Q₇
4...

Vì vậy quanh (\mathbb Q) không chỉ có một đại dương.

Nó giống một hòn đảo có vô số cánh cửa:

 1                 Q₂
 2                  ↑
 3                  │
 4        Q₃  ←──── Q ────→  R
 5                  │
 6                  ↓
 7                 Q₅
 8                  │
 9                  ↓
10                 Q₇
11                 ...

Số thực chỉ là một cách hoàn thiện số hữu tỷ.

Các số p-adic là những cách hoàn thiện khác.

Một định lý nổi tiếng của Ostrowski nói, theo nghĩa tương đương thích hợp, các chuẩn không tầm thường trên (\mathbb Q) về cơ bản chỉ gồm chuẩn tuyệt đối thông thường và các chuẩn p-adic. (Encyclopedia of Mathematics)

Điều này khiến p-adic không còn giống một món đồ chơi được phát minh cho vui.

Nó gần như nói rằng:

nếu muốn đo độ lớn trên số hữu tỷ theo một cách hợp lý, thế giới không cho chúng ta quá nhiều lựa chọn.

Có thế giới Archimedean quen thuộc.

Và có những thế giới p-adic.

p-adic dùng để làm gì?

Số p-adic sinh ra từ lý thuyết số và vẫn đặc biệt quan trọng ở đó.

Một số ứng dụng và vai trò lớn gồm:

• nghiên cứu phương trình Diophantine;
• giải và nâng nghiệm từ modulo (p) lên modulo (p^n);
• Hensel’s lemma;
• local fields;
• đại số số (algebraic number theory);
• hình học đại số (algebraic geometry);
• nghiên cứu các biểu diễn và dạng modular;
• các nguyên lý local-global trong lý thuyết số.

Các phương pháp p-adic cũng xuất hiện trong nhiều nhánh sâu hơn của toán học hiện đại. Encyclopedia of Mathematics mô tả số p-adic như phép hoàn thiện của (\mathbb Q) theo một valuation phi Archimedean và nhấn mạnh mối liên hệ của chúng với nghiệm của các phương trình Diophantine modulo các lũy thừa ngày càng lớn của một số nguyên tố. (Encyclopedia of Mathematics)

Tất nhiên, nếu đang viết một API CRUD bằng FastAPI vào chiều thứ Hai, có lẽ chưa cần đột nhiên import (\mathbb Q_7).

Nhưng ý tưởng đứng sau p-adic rất đáng học.

Nó dạy một điều sâu hơn bản thân thuật toán.

Cái gọi là “gần” chưa chắc đã gần

Chúng ta nhìn:

$$ 1 $$

và:

$$ 1025 $$

rồi nói:

Xa quá.

Nhưng đó không phải sự thật tuyệt đối.

Đó là kết luận của một chiếc thước.

Đổi chiếc thước:

$$ |x-y| $$

thành:

$$ |x-y|_2 $$

và toàn bộ địa hình cong lại.

1025 từ chân trời chạy về đứng ngay cạnh 1.

Các số:

$$ 1,3,5,17,257,65537,\dots $$

có thể ngày càng xa trên trục số nhưng lại ngày càng gần nhau nếu hiệu của chúng chứa những lũy thừa ngày càng cao của 2.

Trong đời sống, ta cũng thường vô thức chọn metric.

Hai người sống cách nhau 10.000 km nhưng suy nghĩ giống nhau có thể cảm thấy rất gần.

Hai người ngồi cùng một căn phòng nhưng chẳng hiểu nhau có thể xa như hai hành tinh.

Máy tính cũng vậy.

Hai văn bản dài hàng nghìn ký tự có thể được xem là gần nếu embedding của chúng gần nhau.

Hai node trong mạng có thể “gần” vì latency thấp dù khoảng cách địa lý lớn.

Hai file có thể gần vì hash hoặc cấu trúc nội dung giống nhau.

Khoảng cách không phải lúc nào cũng là mét.

Khoảng cách là câu trả lời cho câu hỏi: ta đang muốn bảo tồn loại giống nhau nào?

Với số thực, ta bảo tồn độ lớn.

Với số p-adic, ta bảo tồn lịch sử chia hết.

Tổng kết

Nếu chỉ nhớ một câu về p-adic, hãy nhớ câu này:

Hai số p-adic được xem là càng gần nhau khi hiệu của chúng chia hết cho lũy thừa càng lớn của (p).

Ta bắt đầu bằng:

$$ v_p(x) $$

để đếm số lần (p) xuất hiện trong (x).

Sau đó định nghĩa:

$$ |x|_p=p^{-v_p(x)} $$

và khoảng cách:

$$ d_p(x,y)=|x-y|_p $$

Từ một thay đổi tưởng như bé xíu trong định nghĩa khoảng cách, cả thế giới đổi hình.

Tam giác biến thành ultrametric.

Chuỗi:

$$ 1+2+4+8+\cdots $$

có thể hội tụ về (-1).

Phương trình không có nghiệm trong số thực có thể có nghiệm trong một trường p-adic.

Và số 1 có thể đứng gần 1025 hơn đứng gần 2.

Có lẽ đây cũng là điều đẹp nhất của toán học.

Nó không chỉ trả lời câu hỏi bên trong một thế giới.

Đôi khi nó hỏi:

Ai bảo thế giới phải được đo như vậy?

Rồi nó đổi chiếc thước.

Và một vũ trụ khác xuất hiện.

Tham khảo

• Encyclopedia of Mathematics — P-adic valuation. P-adic valuation
• Encyclopedia of Mathematics — P-adic number. P-adic number
• Wolfram MathWorld — p-adic Number. p-adic Number
• Wolfram MathWorld — Hensel’s Lemma. Hensel’s Lemma