Đặt vấn đề
Không phải mọi con số đều sinh ra vì con người thích làm toán khó hơn.
Có những con số xuất hiện bởi vì toán học đi đến mép vực, nhìn xuống dưới, rồi phát hiện ra rằng: nếu không xây thêm một cây cầu thì không đi tiếp được nữa.
Giả sử một đứa trẻ 6 tuổi hỏi:
Có số nào nhân với chính nó bằng
-1không?
Ta thử những thứ quen thuộc.
$$ 1 \times 1 = 1 $$
Không được.
Thử -1:
$$ (-1) \times (-1) = 1 $$
Vẫn không được.
Thử 2, -2, 0.5, -0.5, rồi thử tất cả các số thực mà ta biết.
Không có.
Bởi vì với mọi số thực $x$:
$$ x^2 \ge 0 $$
Bình phương một số dương thì dương.
Bình phương một số âm cũng dương.
Số -1 đứng đó, bé tí, nhưng nó dựng lên trước mặt toán học một bức tường rất lớn:
$$ x^2 + 1 = 0 $$
không có nghiệm nào trong tập số thực.
Nghe thì có vẻ đơn giản.
Không giải được thì thôi.
Nhưng các nhà toán học lại chọn một con đường hơi… ngáo:
Nếu thế giới số hiện tại không chứa nghiệm, vậy ta mở rộng thế giới số.
Họ đặt:
$$ i^2 = -1 $$
hay:
$$ i = \sqrt{-1} $$
Và từ một ký hiệu tưởng như được bịa ra để chữa cháy, cả một vùng đất toán học mới xuất hiện.
Đó là số phức (complex number).
Một con số nhưng lại có hai chiều
Một số phức thường được viết dưới dạng:
$$ z = a + bi $$
Trong đó:
- $a$ là phần thực (real part).
- $b$ là phần ảo (imaginary part).
- $i$ là đơn vị ảo với $i^2=-1$.
Ví dụ:
$$ z = 3 + 2i $$
có:
$$ \operatorname{Re}(z)=3 $$
và:
$$ \operatorname{Im}(z)=2 $$
Tên gọi “số ảo” dễ làm người ta hiểu nhầm rằng nó không có thật.
Nhưng đây là chỗ khá thú vị.
Số ảo không “ảo” hơn số âm.
Nếu quay ngược thời gian vài nghìn năm và nói với một thương nhân:
Tôi có âm ba con bò.
Ông ấy có thể nhìn ta như nhìn một người vừa bị mặt trời nung đầu.
Không thể có -3 con bò đứng ngoài đồng.
Nhưng -3 lại rất hợp lý khi mô tả một khoản nợ ba con bò.
Số âm không phải một vật thể.
Nó là một cách mô tả quan hệ.
Số phức cũng vậy.
Ta không cần tìm một cục i nằm dưới gầm bàn.
Nó là một cấu trúc toán học cho phép mô tả những thứ mà trục số một chiều không làm được tốt.
Và điều kỳ lạ nhất là:
nó hóa ra cực kỳ phù hợp với thế giới vật lý.
Từ một đường thẳng thành một mặt phẳng
Các số thực có thể đặt trên một đường thẳng:
1<------|------|------|------|------|------>
2 -2 -1 0 1 2
Muốn đi từ 1 đến 2, ta đi sang phải.
Muốn đi từ 1 đến -1, ta đi sang trái.
Nhưng số phức thêm cho ta một hướng mới.
Thay vì chỉ có trái và phải, bây giờ ta có thêm lên và xuống.
Ta dựng mặt phẳng phức (complex plane):
1 Im
2 ↑
3 |
4 2i | ● 3 + 2i
5 | /
6 | /
7 | /
8──────────────────────┼──────────────────────→ Re
9 -3 -2 -1 0 1 2 3
10 |
11 |
12 |
Trục ngang chứa phần thực.
Trục dọc chứa phần ảo.
Số:
$$ 3+2i $$
không còn chỉ là một con số trừu tượng.
Nó trở thành một điểm có tọa độ:
$$ (3,2) $$
Đây chính là bước ngoặt quan trọng.
Số phức không đơn giản là:
số thực cộng thêm một thứ kỳ quặc tên là $i$.
Nó có thể được nhìn như:
một điểm, một vector, hay một phép biến đổi nằm trên mặt phẳng hai chiều.
Phép cộng số phức chẳng có gì đáng sợ
Giả sử:
$$ z_1 = 2+3i $$
và:
$$ z_2 = 4+i $$
Ta cộng từng phần:
$$ z_1+z_2
(2+4)+(3+1)i $$
nên:
$$ z_1+z_2=6+4i $$
Nếu coi hai số phức là vector:
$$ z_1=(2,3) $$
$$ z_2=(4,1) $$
thì:
$$ z_1+z_2=(6,4) $$
Quá bình thường.
Hai mũi tên cộng vào nhau.
Xong thuật toán, quá dễ.
Nhưng phép nhân mới là nơi số phức bắt đầu làm trò.
Phép nhân và cú quay 90 độ
Hãy lấy một số thực đơn giản:
$$ 1 $$
Nhân nó với $i$:
$$ 1 \times i=i $$
Trên mặt phẳng phức:
1nằm bên phải gốc tọa độ.inằm phía trên.
Tức là phép nhân với $i$ đã làm điểm 1 quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ.
Tiếp tục:
$$ i\times i=i^2=-1 $$
Ta lại quay thêm 90 độ.
Tiếp:
$$ -1\times i=-i $$
Thêm 90 độ.
Và cuối cùng:
$$ -i\times i=1 $$
Ta trở về vị trí ban đầu.
1 i
2 ↑
3 |
4 |
5 |
6 -1 ←──────●──────→ 1
7 |
8 |
9 |
10 ↓
11 -i
Chuỗi này là:
$$ 1 \rightarrow i \rightarrow -1 \rightarrow -i \rightarrow 1 $$
Như kim đồng hồ bị một con ma toán học đẩy từng góc 90 độ.
Đây là một trong những cách hiểu quan trọng nhất về $i$:
Nhân với $i$ tương đương với quay một vector 90 độ trên mặt phẳng phức.
Bỗng nhiên:
$$ i^2=-1 $$
không còn kỳ quặc nữa.
Quay 90 độ hai lần chính là quay 180 độ.
Một vector đang hướng sang phải sau khi quay 180 độ sẽ hướng sang trái.
Tức là:
$$ 1 \rightarrow -1 $$
Thế thôi.
Không có phép thuật.
Chỉ là hình học đang đội chiếc mũ đại số.
Độ lớn của số phức
Với:
$$ z=a+bi $$
ta có thể coi nó là điểm:
$$ (a,b) $$
Khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ là:
$$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$
Ví dụ:
$$ z=3+4i $$
thì:
$$ |z|
\sqrt{3^2+4^2}
5 $$
Đây chính là định lý Pythagoras.
1 ● (3,4)
2 /|
3 / |
4 5 / | 4
5 / |
6 /____|
7 3
Như vậy một số phức có thể được mô tả bởi hai thứ:
- Nó dài bao nhiêu.
- Nó đang chỉ về hướng nào.
Hay nói toán học hơn:
- Magnitude $r$.
- Phase/angle $\theta$.
Từ đó:
$$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) $$
Đây gọi là dạng lượng giác hoặc dạng cực (polar form).
Và chúng ta sắp đi đến một trong những công thức đẹp nhất toán học.
Euler xuất hiện và mọi thứ bắt đầu kỳ quái
Leonhard Euler tìm ra rằng:
$$ e^{i\theta}
\cos\theta+i\sin\theta $$
Do đó:
$$ z=re^{i\theta} $$
Nếu $\theta=\pi$:
$$ e^{i\pi}
\cos\pi+i\sin\pi $$
Ta biết:
$$ \cos\pi=-1 $$
và:
$$ \sin\pi=0 $$
nên:
$$ e^{i\pi}=-1 $$
hay:
$$ e^{i\pi}+1=0 $$
Một phương trình nhỏ xíu gom năm nhân vật cực kỳ quan trọng của toán học vào cùng một dòng:
$$ 0,\quad1,\quad e,\quad i,\quad\pi $$
Nghe hơi giống năm người vốn chẳng quen biết nhau, đột nhiên phát hiện cả nhóm đang sống chung một căn hộ.
Nhưng thứ quan trọng hơn vẻ đẹp của công thức là ý nghĩa của nó:
$$ e^{i\theta} $$
có thể được hiểu là một phép quay một góc $\theta$.
Từ đây, phép nhân số phức trở nên cực kỳ đẹp.
Giả sử:
$$ z_1=r_1e^{i\theta_1} $$
$$ z_2=r_2e^{i\theta_2} $$
Ta có:
$$ z_1z_2
r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} $$
Tức là khi nhân hai số phức:
- Độ dài được nhân với nhau.
- Góc được cộng với nhau.
Đại số và hình học lúc này gần như hòa vào một.
Vì sao người ta cần số phức?
Đây là câu hỏi quan trọng hơn nhiều so với chuyện tính:
$$ (2+3i)(4+5i) $$
Nếu số phức chỉ dùng để giải vài phương trình thì có lẽ nó đã nằm yên trong sách giáo khoa.
Nhưng nó không nằm yên.
Nó chạy ra ngoài.
Nó chui vào sóng vô tuyến.
Chui vào điện xoay chiều.
Chui vào radar.
Chui vào Wi-Fi.
Chui vào xử lý âm thanh.
Chui vào JPEG.
Chui vào MRI.
Chui vào vật lý lượng tử.
Chui vào hệ thống điều khiển.
Và đặc biệt, nó xuất hiện gần như ở bất cứ nơi nào có dao động và pha.
Một ví dụ rất đời thường: loa đang phát nhạc
Giả sử loa tạo ra một sóng:
$$ x(t)=A\cos(\omega t+\phi) $$
Trong đó:
- $A$ là biên độ.
- $\omega$ là tần số góc.
- $\phi$ là pha.
Ta có thể làm toán trực tiếp với sin và cos.
Được.
Nhưng khi phải cộng, nhân, vi phân, tích phân hàng nghìn tín hiệu, đống lượng giác bắt đầu sinh sôi như cỏ sau mưa.
Số phức cho phép viết:
$$ x(t)
\operatorname{Re} \left( Ae^{i(\omega t+\phi)} \right) $$
Nhờ:
$$ e^{i\theta}
\cos\theta+i\sin\theta $$
Một dao động bây giờ trở thành một vector quay trên mặt phẳng phức.
1 Im
2 ↑
3 |
4 | ↗ z(t)
5 | /
6 | / θ
7─────────────────────●────────────────────→ Re
Vector cứ quay.
Hình chiếu của nó xuống trục thực chính là sóng cosine mà ta nhìn thấy.
Có thể hình dung như một chiếc đèn pin quay vòng tròn, còn bóng của nó chạy qua chạy lại trên bức tường.
Chuyển động tròn đều tạo ra dao động.
Và số phức là thứ nối hai thế giới đó lại với nhau.
Fourier Transform: bóc một bài hát thành những vòng quay
Giả sử ta nghe một đoạn nhạc.
Trong tai ta, nó là một khối âm thanh duy nhất.
Nhưng về mặt vật lý, âm thanh ấy có thể chứa:
- 100 Hz
- 440 Hz
- 1.000 Hz
- 5.000 Hz
- cùng vô số thành phần khác.
Fourier Transform tìm cách trả lời:
Trong tín hiệu này có những tần số nào, mạnh bao nhiêu và lệch pha bao nhiêu?
Một dạng của Fourier Transform là:
$$ X(f)
\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2\pi ft}dt $$
Và $i$ lại xuất hiện.
Không phải tình cờ.
Phần:
$$ e^{-i2\pi ft} $$
có thể được hiểu như một vector quay với tần số $f$.
Fourier Transform về trực giác giống như ta lấy tín hiệu rồi lần lượt thử:
Nếu tôi quay một chiếc đồng hồ với tốc độ này, tín hiệu có cộng dồn theo một hướng không?
Nếu đúng tần số, các vector có xu hướng xếp lại với nhau.
Nếu sai tần số, chúng quay lung tung rồi triệt tiêu.
Một bài hát tưởng như là một con quái vật hỗn độn bỗng bị tách thành hàng nghìn vòng tròn nhỏ đang quay.
Đó là lý do số phức có mặt khắp xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing).
Wi-Fi cũng đầy số phức
Khi điện thoại kết nối Wi-Fi, thứ bay trong không khí không phải những con số 0 và 1.
Không có một đoàn electron cầm lá cờ ghi:
11 0 1 1 0 1
bay từ router sang điện thoại.
Thứ tồn tại ngoài kia là sóng điện từ.
Sóng có:
- biên độ;
- tần số;
- pha.
Và muốn biểu diễn đồng thời biên độ lẫn pha thì số phức cực kỳ thuận tiện.
Trong nhiều hệ thống truyền thông số, tín hiệu được biểu diễn dưới dạng:
$$ z=I+Qi $$
Trong đó:
- $I$ là In-phase component.
- $Q$ là Quadrature component.
Từ đây ta có thứ gọi là I/Q data.
Ví dụ trong QPSK, bốn trạng thái có thể nằm ở bốn vị trí khác nhau trên mặt phẳng phức:
1 Q
2 ↑
3
4 ● ●
5
6
7─────────────────────┼────────────────────→ I
8
9
10 ● ●
Mỗi điểm có thể đại diện cho một nhóm bit.
Với các modulation phức tạp hơn như 16-QAM, 64-QAM hay 256-QAM, số lượng điểm tăng lên rất nhiều.
Đằng sau dòng video 4K đang chạy cực kỳ “ảo” trên điện thoại là những tín hiệu điện từ rất thật, những transistor rất thật, những bộ lọc rất thật, và trong phần toán học điều khiển toàn bộ đám hỗn loạn đó, những số dạng:
$$ a+bi $$
đang chạy nhung nhúc.
Số phức giúp giải phương trình
Quay trở lại bài toán ban đầu:
$$ x^2+1=0 $$
Trong số thực, phương trình vô nghiệm.
Trong số phức:
$$ x^2=-1 $$
nên:
$$ x=\pm i $$
Nhưng câu chuyện còn lớn hơn.
Một kết quả cực kỳ quan trọng gọi là Định lý cơ bản của đại số (Fundamental Theorem of Algebra) nói rằng:
Mọi đa thức bậc $n$ với hệ số phức đều có đúng $n$ nghiệm trong tập số phức nếu tính cả số lần lặp của nghiệm.
Ví dụ:
$$ x^2+1 $$
có hai nghiệm:
$$ i,\quad -i $$
Hay:
$$ x^4+1=0 $$
cũng có đầy đủ bốn nghiệm trong số phức.
Có thể nói tập số phức đã “vá” một lỗ thủng rất lớn của đại số.
Trong số thực, ta đi đến một số phương trình rồi bị chặn.
Trong số phức, cánh cửa lại mở.
Căn bậc hai của -1 không phải một trò gian lận
Một phản ứng khá tự nhiên khi mới học là:
Không tìm được căn bậc hai của -1 nên các ông tự bịa ra $i$, thế chẳng phải ăn gian sao?
Thực ra toàn bộ lịch sử toán học đầy những vụ “ăn gian” kiểu này.
Ngày xưa người ta có số tự nhiên:
$$ 1,2,3,4,\ldots $$
Rồi xuất hiện:
$$ 2-5 $$
Không có đáp án trong số tự nhiên.
Ta mở rộng thành số nguyên:
$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots $$
Sau đó:
$$ 1\div 2 $$
không phải số nguyên.
Ta thêm số hữu tỉ.
Rồi:
$$ \sqrt{2} $$
không phải số hữu tỉ.
Ta mở rộng tới số thực.
Rồi:
$$ \sqrt{-1} $$
không phải số thực.
Ta mở rộng tới số phức.
1Số tự nhiên
2 ↓
3Số nguyên
4 ↓
5Số hữu tỉ
6 ↓
7Số thực
8 ↓
9Số phức
Mỗi lần toán học gặp một phép toán không đóng trong thế giới hiện tại, con người có hai lựa chọn:
- Cấm phép toán đó.
- Xây một thế giới lớn hơn nơi phép toán ấy có ý nghĩa.
Rất nhiều lần, lựa chọn thứ hai tạo ra một ngành toán học mới.
Một ví dụ bằng Python
Python hỗ trợ số phức trực tiếp.
Lưu ý Python dùng j thay vì i, vì trong kỹ thuật điện ký hiệu $i$ thường được dùng cho dòng điện.
1z1 = 3 + 4j
2z2 = 1 + 2j
3
4print(z1 + z2)
5print(z1 * z2)
6print(abs(z1))
Kết quả:
1(4+6j)
2(-5+10j)
35.0
Ta cũng có thể lấy phần thực và phần ảo:
1z = 3 + 4j
2
3print(z.real)
4print(z.imag)
Kết quả:
13.0
24.0
Hoặc lấy góc của số phức:
1import cmath
2
3z = 1 + 1j
4
5print(abs(z))
6print(cmath.phase(z))
Độ lớn:
$$ |z|=\sqrt{2} $$
và góc:
$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$
tức 45 độ.
Một điều khá kỳ lạ: số phức làm phép quay dễ hơn
Giả sử ta có điểm:
$$ z=1 $$
và muốn quay nó 45 độ.
Ta chỉ cần nhân:
$$ z'
z e^{i\pi/4} $$
Do:
$$ e^{i\pi/4}
\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} $$
nên:
$$ z'
\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}i $$
Điểm (1,0) đã được quay thành:
$$ \left( \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2} \right) $$
Muốn quay thêm 45 độ?
Nhân thêm một lần nữa.
$$ e^{i\pi/4}e^{i\pi/4}
e^{i\pi/2}
i $$
Và điểm đi lên trục $i$.
Đây là một ý tưởng quan trọng sau này khi học:
- Fourier Transform;
- signal processing;
- control theory;
- computer graphics;
- quantum mechanics.
Ở mức cao hơn nữa, ý tưởng về việc dùng đại số để biểu diễn phép quay còn dẫn chúng ta tới quaternion, nơi thay vì một đơn vị ảo $i$, ta có:
$$ i,\quad j,\quad k $$
và có thể mô tả phép quay 3D rất đẹp.
Nhưng đó là câu chuyện cho một bài khác.
Phần liên hợp: chiếc bóng đối xứng của số phức
Với:
$$ z=a+bi $$
số liên hợp phức (complex conjugate) là:
$$ \bar z=a-bi $$
Ví dụ:
$$ z=3+4i $$
thì:
$$ \bar z=3-4i $$
Trên mặt phẳng phức, hai điểm đối xứng nhau qua trục thực.
1 ● 3 + 4i
2 |
3 |
4─────────────────┼────────────────→ Re
5 |
6 |
7 ● 3 - 4i
Một tính chất cực kỳ hữu ích:
$$ z\bar z
(a+bi)(a-bi) $$
$$ =a^2+b^2 $$
Do đó:
$$ |z|^2=z\bar z $$
và:
$$ |z|=\sqrt{z\bar z} $$
Thứ trông như một mẹo đại số nhỏ lại xuất hiện liên tục trong xử lý tín hiệu, vật lý và toán học.
Số phức có “thật” không?
Đây có lẽ là câu hỏi thú vị nhất.
Một hòn đá là thật.
Một electron, theo mô hình vật lý hiện tại, là một thứ thuộc thế giới vật chất.
Nhưng số 3 thì nằm ở đâu?
Ta không thể đào đất và tìm thấy một cục số ba.
Một vòng tròn hoàn hảo cũng không tồn tại ngoài tự nhiên.
Không có cây nào hoàn toàn thẳng.
Không có vật thể nào có chiều dài chính xác vô hạn chữ số của $\pi$.
Toán học không nhất thiết là kho chứa các vật thể vật lý.
Nó là một hệ thống cấu trúc và quan hệ.
Số phức cũng vậy.
Nhưng điều đáng kinh ngạc là một cấu trúc từng bị gọi là imaginary lại mô tả thế giới thật cực kỳ tốt.
Một kỹ sư thiết kế antenna có thể dùng số phức.
Một kỹ sư xử lý tín hiệu radar có thể dùng số phức.
Một hệ thống Wi-Fi dùng số phức.
Phương trình Schrödinger của cơ học lượng tử dùng số phức.
Điều này tạo ra một câu hỏi có màu triết học khá đẹp:
Con người phát minh ra số phức, hay chúng ta chỉ tình cờ phát hiện một cấu trúc vốn đã nằm sâu trong bộ xương của tự nhiên?
Không có câu trả lời đơn giản.
Nhưng có một điều chắc chắn.
Ban đầu, $i$ trông như một ký hiệu được dựng lên chỉ để cứu một phương trình.
Vài thế kỷ sau, nó nằm trong toán học của sóng, điện, ánh sáng, truyền thông và vật lý lượng tử.
Một thứ từng bị xem là “ảo” cuối cùng lại trở thành công cụ để mô tả cái thật.
Từ số thực đến một cách nhìn khác về toán học
Nếu chỉ nhớ một điều sau bài này, mình nghĩ không nên nhớ:
$$ i^2=-1 $$
Công thức đó quá dễ tra.
Thứ đáng nhớ hơn là cách toán học lớn lên.
Khi:
$$ 2-5 $$
không giải được trong số tự nhiên, ta không vứt phép trừ đi.
Ta tạo số âm.
Khi:
$$ 1/2 $$
không nằm trong số nguyên, ta tạo phân số.
Khi:
$$ \sqrt2 $$
không phải số hữu tỉ, ta mở rộng sang số thực.
Và khi:
$$ \sqrt{-1} $$
không tồn tại trong số thực, toán học không nói:
Thôi, cấm câu hỏi này.
Nó nói:
Nếu một chiều không đủ, xây thêm một chiều.
Đó mới là thứ đẹp nhất ở số phức.
Nó không chỉ cho chúng ta thêm vài con số.
Nó thay đổi câu hỏi từ:
Con số này nằm ở đâu trên một đường thẳng?
thành:
Nó dài bao nhiêu và đang quay về hướng nào?
Một con số bỗng có hình học.
Một phép nhân bỗng trở thành phép quay.
Một hàm mũ bỗng tạo thành đường tròn.
Một bài hát bỗng trở thành hàng nghìn vector quay.
Một tín hiệu Wi-Fi tưởng như vô hình bỗng có thể được đặt lên một mặt phẳng.
Và từ câu hỏi ngây ngô:
$$ \sqrt{-1}=? $$
ta rơi xuống một cái giếng sâu chứa đầy đại số, hình học, sóng, tín hiệu và vật lý.
Tổng kết
Số phức có dạng:
$$ z=a+bi $$
với:
$$ i^2=-1 $$
Nhưng cách hiểu hữu ích hơn là coi nó như một điểm trên mặt phẳng:
$$ (a,b) $$
Khi đó:
- phần thực là tọa độ ngang;
- phần ảo là tọa độ dọc;
- độ lớn là khoảng cách tới gốc;
- argument là góc;
- nhân với $i$ tương đương quay 90 độ;
- nhân hai số phức tương ứng với nhân độ lớn và cộng góc;
- công thức Euler nối số phức với lượng giác:
$$ e^{i\theta}
\cos\theta+i\sin\theta $$
Chính cấu trúc này làm số phức trở thành ngôn ngữ tự nhiên cho dao động, sóng, Fourier Transform, truyền thông số, hệ thống điều khiển và rất nhiều bài toán vật lý.
Số phức ban đầu được sinh ra vì một phương trình không chịu có nghiệm.
Cuối cùng, nó lại trở thành một trong những cách đẹp nhất để toán học nói về một thế giới luôn chuyển động, dao động và quay.
Có lẽ cái tên “số ảo” hơi oan cho nó.
Bởi rất nhiều thứ ta gọi là thật đang được mô tả mỗi ngày bằng những con số mang chữ $i$.
Bình luận