Số siêu thực – Surreal Numbers: khi vô cực cũng chỉ là một con số

21/08/2026 19 phút đọc mathematicssurreal-numbersinfinityconwaynumber-system

Đặt vấn đề

Có một chuyện hơi kỳ.

Chúng ta lớn lên với một cái trục số rất ngoan:

1<-----------------------------|----------------------------->
2                             0
3
4       -3   -2   -1           1   2   3

Đi sang phải thì số lớn hơn.

Đi sang trái thì số nhỏ hơn.

Học thêm một chút, người ta nhét vào giữa các số nguyên một đống phân số:

10 ---- 1/4 ---- 1/2 ---- 3/4 ---- 1

Học thêm nữa, người ta nói:

Giữa hai số thực bất kỳ luôn còn có vô số số thực khác.

Nghe thế thì có cảm giác cái trục số đã đông nghẹt rồi.

Không còn chỗ.

Nhét một cây kim vào giữa 0 và 0.0000001 đã khó, vậy mà toán học bảo trong đó còn vô hạn số.

Thế là tưởng căn nhà mang tên số thực đã kín người.

Nhưng John Conway nhìn căn nhà ấy và nói, đại khái:

“Ờ… vẫn còn rộng.”

Rồi ông nhét thêm vào đó những thứ như:

$$ \omega $$

một số lớn hơn:

$$ 1,2,3,4,5,\ldots $$

và lớn hơn mọi số tự nhiên hữu hạn.

Chưa hết.

Ông còn nhét vào:

$$ \frac{1}{\omega} $$

một số dương nhưng nhỏ hơn:

$$ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15,\ldots $$

nghĩa là nhỏ hơn 1/n với mọi số nguyên dương hữu hạn (n).

Một thứ lớn hơn mọi con số chúng ta đếm được.

Một thứ nhỏ đến mức mọi phân số kiểu (1/n) đều nhìn xuống nó.

Và cả hai vẫn là số.

Không phải ký hiệu “tiến tới vô cực”.

Không phải cách nói tượng trưng.

Không phải lỗi chia cho zero lúc 2 giờ sáng.

Chúng nằm trong một hệ thống toán học nghiêm chỉnh gọi là số siêu thực — surreal numbers.

Đây có lẽ là một trong những hệ số có cái tên nghe như vừa bước ra khỏi giấc mơ, nhưng cấu trúc bên trong lại cực kỳ chặt chẽ.

Một cái hàng rào có thể sinh ra cả vũ trụ số

Ý tưởng trung tâm của surreal numbers đơn giản đến mức hơi đáng ngờ.

Giả sử có hai nhóm số.

Một nhóm đứng bên trái:

$$ L $$

và một nhóm đứng bên phải:

$$ R $$

với điều kiện mọi số bên trái đều nhỏ hơn mọi số bên phải.

Ta viết:

$$ {L\mid R} $$

và hiểu nó là:

con số đơn giản nhất nằm lớn hơn tất cả số bên trái và nhỏ hơn tất cả số bên phải.

Stanford Encyclopedia of Philosophy mô tả chính construction này: nếu không có phần tử nào của tập trái lớn hơn hoặc bằng một phần tử của tập phải, ta có thể tạo một surreal number ({L|R}). (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Nghe hơi trừu tượng.

Vậy hãy tưởng tượng một đứa trẻ đứng giữa hai hàng rào.

1những số nhỏ hơn        CON SỐ MỚI        những số lớn hơn
2
3      L                      x                    R
4
5-----------|-----------------●--------------------|-----------

Ta không nói ngay đứa trẻ tên gì.

Ta chỉ nói:

Nó phải đứng bên phải tất cả những người trong nhóm L, nhưng bên trái tất cả những người trong nhóm R.

Thế là vị trí của nó dần được xác định.

Điều ngáo nhất nằm ở chỗ:

chúng ta có thể bắt đầu khi chưa có bất kỳ con số nào cả.

Ngày số 0: sinh ra số 0 từ… không có gì

Ban đầu chưa có số nào.

Hai bên đều trống:

$$ {\ |\ } $$

Không có gì bên trái.

Không có gì bên phải.

Con số đơn giản nhất thỏa điều kiện đó được gọi là:

$$ 0={|} $$

Đây là đoạn mình rất thích trong surreal numbers.

Số 0 không được đưa vào như một viên gạch có sẵn.

Nó xuất hiện từ hai khoảng trống.

 1bên trái:  chẳng có gì
 2bên phải:  chẳng có gì
 3
 4             ↓
 5
 6           { | }
 7
 8             ↓
 9
10             0

Một kiểu toán học rất triết học:

từ việc không có gì để so sánh, ta tạo ra điểm bắt đầu cho mọi sự so sánh.

Ngày số 1: từ 0 mọc ra -1 và 1

Bây giờ chúng ta đã có số 0.

Ta có thể tạo:

$$ {0|} $$

Nó phải lớn hơn 0, nhưng không bị giới hạn phía trên.

Con số đơn giản nhất như vậy là:

$$ 1={0|} $$

Ngược lại:

$$ {|0} $$

phải nhỏ hơn 0.

Ta nhận được:

$$ -1={|0} $$

Cây gia đình lúc này trông như sau:

1             0
2           /   \
3         -1     1

Chỉ một ngày trước đó, chẳng có gì.

Bây giờ đã có:

$$ -1,\quad0,\quad1 $$

Ngày số 2: phân số bắt đầu bò ra

Ta thử hỏi:

Có số nào nằm giữa 0 và 1 không?

Có.

Viết:

$$ {0|1} $$

Con số đơn giản nhất nằm giữa hai số này là:

$$ \frac12 $$

nên:

$$ \frac12={0|1} $$

Tương tự:

$$ -\frac12={-1|0} $$

Ta còn tạo được:

$$ 2={1|} $$

và:

$$ -2={|-1} $$

Cây bắt đầu mọc:

1                         0
2                     /       \
3                   -1         1
4                  /  \       / \
5                -2  -1/2   1/2  2

Ngày tiếp theo xuất hiện:

$$ \frac14,\frac34,\frac54,\frac32,\ldots $$

rồi:

$$ \frac18,\frac38,\frac58,\ldots $$

Ở các giai đoạn hữu hạn, quá trình này sinh ra các dyadic rational, tức những phân số có dạng:

$$ \frac{m}{2^n} $$

với (m) là số nguyên và (n) là số tự nhiên. Encyclopedia of Mathematics mô tả chính các giai đoạn hữu hạn này là nơi những dyadic fraction xuất hiện. (Encyclopedia of Mathematics)

Hình dung nó giống một cái cây liên tục mọc cành:

1                              0
2                    ┌─────────┴─────────┐
3                   -1                   1
4              ┌─────┴─────┐       ┌────┴─────┐
5             -2          -1/2     1/2         2
6                         /  \      / \
7                      -3/4 -1/4  1/4 3/4

Cứ mỗi lần ta tìm một khoảng trống giữa hai số đã có, một con số đơn giản mới có thể được sinh ra.

Cây surreal numbers vì vậy không giống một danh sách số.

Nó giống một sinh vật đang lớn.

Nhưng số 1/3 ở đâu?

Đến đây có một vấn đề.

Ta có:

$$ \frac12,\frac14,\frac34,\frac18,\ldots $$

nhưng cứ chia đôi như thế thì làm sao có:

$$ \frac13 $$

?

Không sao.

Ta cứ tiếp tục.

Ta có thể kẹp (1/3) giữa những dãy số ngày càng sát nó.

Ví dụ phía dưới có:

$$ \frac14,\frac5{16},\frac{21}{64},\ldots $$

và phía trên có:

$$ \frac12,\frac38,\frac{11}{32},\ldots $$

Hai bức tường tiến sát lại.

Ở giữa chúng là:

$$ \frac13 $$

Surreal numbers không bắt chúng ta phải sinh mọi số sau một số hữu hạn bước.

Chúng ta được phép tiếp tục sang những ngày vô hạn.

Và đây là lúc con quái vật thực sự tỉnh dậy.

Ngày (\omega): khi toán học chạy hết mọi ngày hữu hạn

Hãy tưởng tượng ta làm quá trình trên vào:

1ngày 0
2ngày 1
3ngày 2
4ngày 3
5...
6ngày 1000000
7...

và không bao giờ dừng ở bất kỳ số ngày hữu hạn nào.

Sau tất cả các ngày hữu hạn, ta đến ordinal đầu tiên:

$$ \omega $$

Đừng đọc nó như “một con số rất rất lớn”.

(\omega) không phải một triệu.

Không phải googol.

Không phải:

$$ 10^{10^{10^{100}}} $$

Dù bạn viết một số hữu hạn kinh khủng đến đâu, cộng thêm một núi số 9 phía sau, nó vẫn là hữu hạn.

Và:

$$ \omega $$

lớn hơn nó.

Surreal numbers tạo (\omega) bằng:

$$ \omega={0,1,2,3,\ldots|} $$

Nghĩa là:

tìm một số lớn hơn tất cả các số tự nhiên.

Stanford Encyclopedia đưa chính biểu diễn này trong construction của surreal numbers. (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Ta có:

$$ 0<1<2<3<\cdots<\omega $$

Nhưng đây mới chỉ là bắt đầu.

Ta tiếp tục:

$$ \omega+1 $$

$$ \omega+2 $$

$$ 2\omega $$

$$ \omega^2 $$

$$ \omega^\omega $$

và cứ đi tiếp.

Không có một “con số vô hạn cuối cùng” đứng trên đỉnh núi, khoanh tay nhìn xuống mọi thứ.

Mỗi lần bạn dựng một ngọn núi, surreal numbers lại hỏi:

“Xây thêm tầng nữa không?”

Một thứ còn kỳ hơn vô hạn: vô cùng bé

Có vô hạn rồi thì chưa đủ vui.

Nếu (\omega) là một số dương, ta có thể nghĩ đến:

$$ \frac1\omega $$

Đặt:

$$ \varepsilon=\frac1\omega $$

Ta có:

$$ \varepsilon>0 $$

nhưng đồng thời:

$$ \varepsilon<1 $$

$$ \varepsilon<\frac12 $$

$$ \varepsilon<\frac13 $$

$$ \varepsilon<\frac1{1000} $$

thậm chí:

$$ \varepsilon<\frac1{10^{1000000}} $$

Nói tổng quát:

$$ 0<\frac1\omega<\frac1n $$

với mọi số nguyên dương hữu hạn (n).

Đây được gọi là một infinitesimal — số vô cùng bé.

Stanford Encyclopedia cho một construction của nó:

$$ \frac1\omega= \left{ 0 \middle| 1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots \right} $$

(Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Hãy tưởng tượng số 0 là mặt đất.

Ta đặt lên đó một hạt bụi.

Nhưng rồi lấy kính hiển vi phóng đại một triệu lần.

Hạt bụi vẫn quá lớn.

Phóng đại một tỷ tỷ lần.

Vẫn quá lớn.

Ta tiếp tục lấy những con số thực dương nhỏ hơn.

Surreal numbers nói:

Được rồi, dưới tất cả những thứ đó vẫn có thể tồn tại một số dương.

Nó không bằng zero.

Nó chỉ gần zero hơn bất kỳ khoảng cách thực hữu hạn kiểu (1/n) nào.

Số thực bỗng nhiên không còn đứng sát nhau nữa

Đây là chỗ surreal numbers làm trực giác về trục số hơi nổ tung.

Trong số thực, giữa:

$$ 1 $$

và:

$$ 1.0000000000000001 $$

ta có vô số số khác.

Ta đã quen với việc nghĩ rằng số thực dày đặc đến mức không còn khe hở.

Nhưng trong surreal numbers, ngay bên cạnh một số thực (x), ta có thể viết:

$$ x+\frac1\omega $$

Số này lớn hơn (x):

$$ x+\frac1\omega>x $$

nhưng hiệu của chúng là:

$$ \frac1\omega $$

nhỏ hơn (1/n) với mọi (n) hữu hạn.

Ví dụ:

$$ 3+\frac1\omega $$

lớn hơn 3.

Nhưng nó chỉ lớn hơn 3 một lượng vô cùng bé.

Tưởng tượng số 3 đang đứng trên sân.

Ta hỏi:

“Có ai đứng bên phải anh không?”

Có.

Một anh:

$$ 3+\frac1\omega $$

đứng sát đến mức nếu chỉ mang theo thước đo bằng số thực thông thường, ta không có một đơn vị (1/n) nào đủ nhỏ để mô tả khoảng cách ấy.

Surreal numbers lớn đến mức không thể gom vào một cái hộp

Thông thường trong toán học, ta nói:

  • tập số tự nhiên (\mathbb N)
  • tập số nguyên (\mathbb Z)
  • tập số hữu tỷ (\mathbb Q)
  • tập số thực (\mathbb R)

Nhưng với toàn bộ surreal numbers, có một chuyện xảy ra.

Chúng quá nhiều.

Quá trình tạo surreal numbers tiếp tục qua mọi ordinal:

 10
 21
 32
 43
 5...
 6ω
 7ω + 1
 8...
 9ω × 2
10...
11ω²
12...

Và không có ordinal cuối cùng.

Bởi vậy toàn bộ surreal numbers không tạo thành một set trong cách xây dựng tập hợp thông thường.

Nó là một proper class.

Ký hiệu thường dùng là:

$$ \mathbf{No} $$

Encyclopedia of Mathematics nhấn mạnh rằng quá trình construction không kết thúc; vì vậy toàn bộ surreal numbers tạo thành một proper class chứ không phải một set. (Encyclopedia of Mathematics)

Nếu một cái hộp có thể chứa mọi surreal number, ta lại có thể dùng toàn bộ những gì trong hộp để bước thêm một bước ra ngoài.

Cái hộp vừa đóng nắp xong.

Toán học đứng phía sau gõ cửa:

cốc cốc.

“Cho thêm một số nữa.”

Surreal numbers thực sự là một hệ số nghiêm chỉnh

Nghe đến đây rất dễ nghĩ:

Đây chắc là một trò chơi ký hiệu thôi.

Không.

Ta có thể định nghĩa phép cộng, phép trừ, phép nhân và nghịch đảo trên surreal numbers.

Ví dụ nếu:

$$ x={x^L|x^R} $$

và:

$$ y={y^L|y^R} $$

thì phép cộng có thể được định nghĩa đệ quy:

$$ x+y= { x^L+y,\ x+y^L \mid x^R+y,\ x+y^R } $$

Ý tưởng rất tự nhiên.

Muốn biết biên trái của (x+y), ta lấy một thứ nhỏ hơn (x) cộng với (y), hoặc (x) cộng với một thứ nhỏ hơn (y).

Tương tự với biên phải.

Phép nhân phức tạp hơn, nhưng cũng có thể được xây đệ quy từ chính các lựa chọn trái và phải của hai số. Construction đầy đủ được trình bày trong Stanford Encyclopedia. (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Khi trang bị các phép toán này, surreal numbers hoạt động như một real-closed ordered field, dù xét chính xác về nền tảng tập hợp thì (\mathbf{No}) là một proper class chứ không phải một set. (Encyclopedia of Mathematics)

Nói nôm na:

ta vẫn có thể làm rất nhiều thứ quen thuộc:

$$ x+y $$

$$ x-y $$

$$ xy $$

$$ \frac{x}{y} $$

nhưng (x) và (y) giờ có thể là những sinh vật như:

$$ \omega $$

hoặc:

$$ \frac1\omega $$

Một phép tính nghe như truyện khoa học viễn tưởng

Ví dụ:

$$ x=\omega+3+\frac2\omega $$

Hãy đọc nó như ba lớp kích thước khác nhau:

1ω             phần vô hạn
23             phần hữu hạn
32/ω           phần vô cùng bé

Ta có thể hình dung:

1x = [ VÔ HẠN ] + [ BÌNH THƯỜNG ] + [ BÉ KHÔNG TƯỞNG ]
2
3         ω              3               2/ω

Con số này lớn hơn mọi số thực hữu hạn vì có thành phần (\omega).

Nhưng nó lại được tinh chỉnh thêm bằng một số hữu hạn 3.

Và sau đó tinh chỉnh thêm lần nữa bằng một lượng vô cùng bé:

$$ \frac2\omega $$

Đây là một trong những điều khiến surreal numbers đẹp.

Chúng không chỉ nói:

“Có infinity.”

Chúng cho phép ta làm số học bên trong infinity.

Ta có thể phân biệt:

$$ \omega $$

với:

$$ \omega+1 $$

với:

$$ \omega+1000000 $$

với:

$$ 2\omega $$

với:

$$ \omega^2 $$

và thậm chí:

$$ \sqrt{\omega} $$

Stanford Encyclopedia liệt kê những surreal number như (\sqrt{\omega}), (\omega/2), (1/\omega) và nhiều biểu thức kết hợp giữa vô hạn và vô cùng bé. (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Infinity ở đây không còn là một màn sương ở cuối trục số.

Nó đã có địa chỉ nhà.

Normal form: “ký pháp khoa học” của surreal numbers

Một kết quả rất đẹp của lý thuyết là surreal number có thể được viết dưới một dạng chuẩn kiểu:

$$ x= \sum_{\beta<\alpha} r_\beta\omega^{y_\beta} $$

trong đó:

  • (r_\beta) là các số thực khác 0.
  • (y_\beta) là các surreal number giảm dần.
  • (\alpha) là một ordinal.

Stanford Encyclopedia trình bày normal form này như một đặc trưng quan trọng của hệ surreal. (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Nếu chưa quen thì cứ tưởng tượng nó giống ký pháp khoa học:

$$ 12345

1\times10^4+ 2\times10^3+ 3\times10^2+ 4\times10+ 5 $$

Surreal numbers làm một chuyện cùng tinh thần, nhưng chiếc “cơ số” quan trọng ở đây là:

$$ \omega $$

và số mũ cũng có thể là surreal number.

Ví dụ một biểu thức có thể trông như:

$$ 3\omega^2 + 5\omega + 7 + \frac{2}{\omega} + \frac{1}{\omega^3} $$

Nhìn từ trái sang phải, ta đang đi qua nhiều tầng kích thước:

13ω²         cực kỳ vô hạn
2 ↓
35ω          vô hạn
4 ↓
57           hữu hạn
6 ↓
72/ω         vô cùng bé
8 ↓
91/ω³        còn bé hơn nữa

Một con số nhưng chứa cả một địa tầng.

Giống như cắt một ngọn núi ra và nhìn thấy:

đá lớn,

đá nhỏ,

cát,

bụi,

rồi những hạt còn nhỏ hơn bụi.

Tại sao lại có chữ “surreal”?

John Horton Conway phát triển hệ thống này vào cuối thập niên 1960 và trình bày nó trong On Numbers and Games.

Donald Knuth sau đó giới thiệu các ý tưởng ấy bằng một cuốn sách rất đặc biệt mang tên Surreal Numbers, viết dưới dạng một câu chuyện toán học.

Surreal numbers ban đầu gắn sâu với combinatorial game theory. Encyclopedia of Mathematics cũng ghi nhận nguồn gốc của chúng trong lý thuyết trò chơi và vai trò của Conway, đồng thời nhắc đến việc Knuth phổ biến chúng trước khi cuốn sách của Conway xuất bản. (Encyclopedia of Mathematics)

Điều thú vị là trong lý thuyết trò chơi của Conway, một game cũng có dạng:

$$ {L|R} $$

Trong đó:

  • (L) là các trạng thái người chơi Left có thể đi tới.
  • (R) là các trạng thái người chơi Right có thể đi tới.

Một số game đặc biệt cư xử giống hệt các con số.

Từ một bài toán về hai người chơi lần lượt chặt cành, dịch quân hoặc phá cấu trúc, Conway đi tới một trong những hệ số rộng lớn nhất từng được nghiên cứu.

Đó là một cú rẽ khá buồn cười của toán học.

Đi tìm cách phân tích trò chơi.

Vô tình đào trúng infinity.

Surreal numbers có phải “tất cả các số” không?

Có một cách nói rất hấp dẫn:

Surreal numbers chứa tất cả những con số lớn và nhỏ.

Nó khá đúng về tinh thần, nhưng cần hiểu cẩn thận.

(\mathbf{No}) chứa các bản sao tự nhiên của:

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbf{No} $$

Nó cũng chứa các ordinal theo một embedding tự nhiên, và có vô số số vô hạn cùng infinitesimal. Stanford Encyclopedia mô tả surreal numbers như một hệ thống thống nhất số thực với các ordinal, đồng thời cho phép các phép toán với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé. (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Nhưng đừng hiểu câu này theo nghĩa:

mọi đối tượng từng được gọi là “number” trong mọi ngành toán học đều chính là một surreal number.

Ví dụ số phức chứa:

$$ i=\sqrt{-1} $$

không phải là một phần tử của trường có thứ tự (\mathbf{No}).

Ta có thể mở rộng surreal numbers thêm (i) để tạo các cấu trúc lớn hơn, nhưng đó lại là câu chuyện khác.

Vậy nó dùng để làm gì?

Nếu sáng mai bạn xây một API, nhiều khả năng bạn không cần:

1omega = SurrealInfinity()

rồi:

1price = omega + 1

Khách hàng chắc cũng hơi hoảng.

Surreal numbers chủ yếu quan trọng ở góc độ toán học nền tảng:

  • combinatorial game theory;
  • nghiên cứu ordered fields;
  • infinitesimal và infinite quantities;
  • ordinal và cấu trúc thứ tự;
  • model theory;
  • nghiên cứu các hệ số mở rộng số thực.

Nó cũng cho ta một cách nhìn cực kỳ đẹp về câu hỏi:

Một “con số” thực sự cần những gì để trở thành con số?

Có nhất thiết phải hữu hạn không?

Không.

Có nhất thiết khoảng cách giữa nó và 0 phải đo được bằng một số thực thông thường không?

Không.

Có nhất thiết ta phải viết được nó bằng vài chục chữ số?

Cũng không.

Điều đáng sợ nhất không phải infinity

Thứ làm mình thấy surreal numbers thú vị nhất không phải là:

$$ \omega $$

Infinity thì con người đã vật lộn với nó hàng nghìn năm rồi.

Điều kỳ lạ hơn là construction của Conway quá đơn giản:

$$ {L|R} $$

Chỉ cần nói:

“Tôi muốn một thứ lớn hơn tất cả những cái này và nhỏ hơn tất cả những cái kia.”

Rồi lặp lại.

Lặp lại nữa.

Lặp qua mọi bước hữu hạn.

Lặp tiếp qua các bước vô hạn.

Từ hai dấu ngoặc và một nét thẳng ở giữa, ta sinh được:

$$ 0 $$

rồi:

$$ 1 $$

rồi:

$$ \frac12 $$

rồi toàn bộ số thực.

Sau đó:

$$ \omega $$

rồi:

$$ \frac1\omega $$

rồi:

$$ \sqrt{\omega} $$

rồi những biểu thức như:

$$ \omega+\pi+\frac1{\omega^2} $$

Cứ như thể ta gieo một hạt giống có đúng một luật:

1trái < ta < phải

rồi quay đi uống ly cà phê.

Khi quay lại, phía sau nhà đã mọc ra một khu rừng vô hạn.

Một cách nhìn khác về số

Ở trường, chúng ta thường học các hệ số như những lần “mở rộng vì thiếu”.

Không trừ được?

Tạo số âm.

$$ 3-5=-2 $$

Không chia hết?

Tạo phân số.

$$ 1/2 $$

Không giải được:

$$ x^2=2 $$

trong số hữu tỷ?

Thêm số vô tỷ.

Không giải được:

$$ x^2=-1 $$

trong số thực?

Thêm số phức.

Mỗi lần toán học đập đầu vào một bức tường, nó thường không phá bức tường.

Nó xây thêm một căn phòng.

Surreal numbers đi xa hơn.

Nó không chỉ hỏi:

“Ta còn thiếu loại số nào?”

Nó hỏi:

“Nếu ta có một quy tắc đủ tổng quát để các con số tự sinh ra thì sao?”

Và câu trả lời là một hệ thống lớn đến mức bản thân toàn bộ nó không còn vừa trong một set.

Tổng kết

Surreal numbers bắt đầu từ một công thức nhìn gần như vô hại:

$$ x={L|R} $$

với mọi phần tử của (L) nhỏ hơn mọi phần tử của (R).

Từ đó:

$$ 0={|} $$

$$ 1={0|} $$

$$ -1={|0} $$

$$ \frac12={0|1} $$

rồi sau tất cả các bước hữu hạn:

$$ \omega={0,1,2,3,\ldots|} $$

và:

$$ \frac1\omega

\left{ 0 \middle| 1,\frac12,\frac14,\ldots \right} $$

Hệ thống cuối cùng chứa số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, những số vô hạn và những số vô cùng bé, đồng thời vẫn cho phép thực hiện số học theo một cấu trúc rất chặt chẽ. (Encyclopedia of Mathematics)

Nhưng có lẽ bài học đẹp nhất không nằm ở infinity.

Nó nằm ở chuyện một cấu trúc khổng lồ đôi khi có thể mọc ra từ một quy tắc cực kỳ nhỏ.

Hai cái hàng rào.

Một bên thấp hơn.

Một bên cao hơn.

Và ở giữa chúng:

một con số mới được sinh ra.

Xong vũ trụ số.

Quá dễ.

Cho đến khi (\omega) xuất hiện.

Tham khảo

Số vô hạn Cantor: Khi vô hạn này còn lớn hơn vô hạn kia
Số phức – Khi toán học phải phát minh thêm một chiều để căn bậc hai của -1 tồn tại

Bình luận