Đặt vấn đề

Có những lúc toán học nhìn một đồ vật và quyết định… không quan tâm nó trông như thế nào.

Một chiếc cốc cà phê đứng nghiêm túc trên bàn.

Một chiếc bánh donut nằm bên cạnh, tròn vo, đầy đường, mang dáng vẻ hoàn toàn không có ý định tham gia nghiên cứu khoa học.

Người bình thường nhìn vào sẽ nói:

Hai thứ này liên quan gì tới nhau?

Nhà hình học thông thường cũng có thể đồng ý.

Cốc cao.

Donut thấp.

Cốc có đáy.

Donut không có đáy.

Cốc đựng được cà phê.

Donut đựng được… chủ yếu là calo.

Nhưng rồi một nhà Topology – tô pô học đi ngang qua, nhìn hai vật thể ấy một lúc và phán:

“Về cơ bản, chúng là một.”

Nghe hơi ngáo.

Nhưng đây không phải kiểu “mọi thứ trong vũ trụ đều là một” sau ba ly cà phê.

Nó là một phát biểu toán học khá chính xác.

Topology không hỏi:

Hình này dài bao nhiêu?

Nó cũng không quá quan tâm:

Góc này bằng bao nhiêu độ?

Hay:

Khoảng cách từ điểm A đến điểm B là bao nhiêu?

Topology hỏi một câu khác kỳ quặc hơn:

Nếu tôi được phép bóp, kéo, uốn và làm méo vật thể này, nhưng tuyệt đối không được cắt nó ra hay dán thêm thứ gì vào, nó có thể biến thành vật thể kia hay không?

Và đó là lúc cốc cà phê bắt đầu biến thành bánh donut.

Topology là gì?

Geometry – hình học – thường quan tâm đến kích thước và hình dạng chính xác.

Ví dụ một hình vuông có:

• 4 cạnh bằng nhau.
• 4 góc vuông.
• hai đường chéo bằng nhau.

Nếu ta kéo một góc của hình vuông sang bên phải, nó biến thành một hình méo mó.

Theo hình học Euclid, rất nhiều tính chất đã thay đổi.

Nhưng topology bình thản nhìn cảnh tượng đó và nói:

“Có gì nghiêm trọng đâu.”

Bởi vì đối với topology, việc kéo một hình vuông thành hình tròn thường chẳng phải sự kiện gì đáng kể.

Ta có thể tưởng tượng hình vuông được làm bằng cao su.

Bóp nó.

Kéo nó.

Làm cong các góc.

Cuối cùng ta được một hình tròn.

Không cắt.

Không đục lỗ.

Không dán hai điểm xa nhau vào nhau.

Vậy xét theo topology, đường biên hình vuông và đường tròn thuộc cùng một loại.

Topology nghiên cứu những tính chất không thay đổi dưới các phép biến dạng liên tục như vậy.

Một cách nói tương đối chuẩn là:

Hai không gian được xem là tương đương về mặt topology nếu tồn tại một homeomorphism giữa chúng.

Nghe đến đây chữ bắt đầu dài.

Nhưng ý tưởng lại cực kỳ đơn giản.

Homeomorphism: kéo được qua kéo được lại

Giả sử ta có hai hình $A$ và $B$.

Nếu có một phép biến đổi:

$$ f: A \rightarrow B $$

thỏa mãn:

• $f$ là liên tục.
• $f$ là một-một.
• $f$ phủ hết $B$.
• phép biến đổi ngược $f^{-1}$ cũng liên tục.

thì $A$ và $B$ được gọi là homeomorphic.

Nói kiểu đời thường:

Ta có thể nhào hình A thành hình B mà không phải xé nó, và cũng có thể nhào ngược hình B trở lại A.

Cứ tưởng tượng cả thế giới được làm bằng đất sét ma thuật.

Bạn được:

• kéo dài;
• ép dẹt;
• bẻ cong;
• phồng lên;
• thu nhỏ;
• vặn vẹo.

Nhưng không được:

• cắt;
• xé;
• khoan thêm lỗ;
• bịt một cái lỗ;
• dán hai phần vốn tách biệt lại với nhau.

Đấy chính là trò chơi của topology.

Và bây giờ đến cái cốc cà phê

Ta lý tưởng hóa chiếc cốc.

Không quan tâm nó làm bằng gốm hay thủy tinh.

Không quan tâm thành cốc dày 4 mm hay 5 mm.

Không quan tâm nó đang chứa espresso, trà đá hay đã bị bỏ quên trên bàn ba ngày.

Điều quan trọng nhất là:

chiếc cốc có một cái quai.

Cái quai tạo nên một đường hầm.

Nếu ta luồn ngón tay qua quai cốc, ngón tay có thể đi xuyên qua một cái lỗ.

Bây giờ nhìn chiếc donut.

Ở giữa donut cũng có một cái lỗ.

Hai hình đều có một lỗ xuyên qua.

Và đây chính là thứ topology quan tâm.

Hãy tưởng tượng cốc được làm bằng cao su cực kỳ mềm.

Ta bắt đầu bóp nó.

Thân cốc bị ép xuống.

Miệng cốc co lại.

Phần đáy phình ra.

Cái quai từ từ béo lên.

Thân cốc tiếp tục bị nhào cho đến khi toàn bộ vật thể trở thành một vòng tròn dày.

Cái lỗ của quai cốc biến thành cái lỗ giữa donut.

Không có khoảnh khắc nào ta phải lấy kéo.

Không phải khoan thêm lỗ.

Không bịt lỗ cũ.

Cái lỗ chỉ… di chuyển.

Và cuối cùng:

1       CỐC                         DONUT
2
3        ____                     __________
4       /    \                   /          \
5      |      |                 /   ______   \
6      |      |----\           |   /      \   |
7      |      |    |     →     |   \______/   |
8      |______|----/            \            /
9                                \__________/

Topology nhìn quá trình này rồi gật đầu:

Hợp lệ.

Vì vậy, trong cách nói phổ biến của topology:

$$ \text{Coffee Mug} \cong \text{Torus} $$

Trong đó torus chính là hình dạng toán học lý tưởng của một chiếc donut.

Tất nhiên, đây là sự lý tưởng hóa toán học của bề mặt/hình dạng. Một chiếc cốc thật có độ dày, men gốm, cạnh, đáy và đủ thứ chi tiết vật lý mà topology thường bỏ qua.

Vậy topology thực sự nhìn thấy cái gì?

Đây mới là phần thú vị.

Con người thường nhận biết đồ vật bằng hình dáng.

Ta nhìn một vật và nói:

“Đây là cái cốc.”

Não đang chú ý tới:

• chiều cao;
• màu sắc;
• tỷ lệ;
• cạnh;
• độ cong;
• texture;
• công dụng.

Topology giống như một sinh vật ngoài hành tinh chỉ nhìn thấy cấu trúc kết nối của thế giới.

Nó gần như bị mù với kích thước.

Một vòng tròn nhỏ:

1   ○

và một vòng tròn to:

1        __________
2     /              \
3    /                \
4    \                /
5     \______________/

khác nhau rất nhiều về kích thước.

Topology:

Giống nhau.

Một hình tròn và một ellipse:

1○        ⬭

Topology:

Cũng giống nhau.

Một sợi dây uốn cong ngoằn ngoèo và một đoạn dây thẳng?

Miễn không thắt nút hoặc nối đầu theo cách khác:

Vẫn cùng loại.

Topology không hỏi vật thể đang đứng như thế nào.

Nó hỏi:

Những phần nào đang nối với những phần nào?

Có bao nhiêu lỗ?

Nếu biến dạng liên tục, cấu trúc nào vẫn không thể biến mất?

Và từ đây xuất hiện một ý tưởng cực kỳ quan trọng:

Topological invariant – thứ sống sót sau mọi cuộc bóp méo

Hãy tưởng tượng ta ném một vật thể vào một cỗ máy.

Cỗ máy có thể:

• kéo;
• ép;
• vặn;
• làm cong;
• làm nhăn.

Sau vài phút, vật thể đi ra trông chẳng còn giống ban đầu.

Nếu một đặc điểm nào đó vẫn không thay đổi bất kể ta hành hạ vật thể ra sao bằng các biến dạng liên tục, ta gọi nó là một topological invariant.

Nôm na:

Một thuộc tính mà topology nhất quyết không chịu quên.

Một trong những ví dụ dễ hiểu nhất chính là số lượng “tay cầm” hay lỗ xuyên qua, được liên hệ với khái niệm genus đối với các bề mặt kín định hướng.

Genus

Một quả cầu:

1      ______
2    /        \
3   |          |
4    \________/

không có tay cầm.

Ta nói:

$$ g = 0 $$

Một torus:

1      _________
2    /           \
3   /   _______   \
4  |   /       \   |
5   \  \_______/  /
6    \___________/

có một tay cầm.

$$ g = 1 $$

Một vật giống hai chiếc donut dính nhau:

1     ___     ___
2   /     \_/     \
3  |   O       O   |
4   \_____   _____/
5         \_/

có hai tay cầm.

$$ g = 2 $$

Và cứ thế.

Ta có thể bóp một torus thành hình méo đến mức mẹ nó nhìn cũng không nhận ra.

Nhưng nếu không cắt hoặc dán, cái “tay cầm” đó vẫn còn.

Muốn biến:

$$ g=1 $$

thành:

$$ g=0 $$

ta phải làm một việc bạo lực hơn.

Ví dụ cắt vòng donut ra rồi bịt lại.

Topology lập tức thổi còi.

Không hợp lệ.

Tại sao quả bóng không thể biến thành donut?

Đây là bài toán rất hay để hiểu bản chất topology.

Giả sử ta có một quả bóng bằng cao su.

Ta có thể:

• bóp dẹt;
• kéo dài như quả dưa;
• làm thành hình quả lê;
• làm thành hình củ khoai;
• làm thành một thứ mà không ai muốn đặt tên.

Nhưng có một việc ta không thể làm chỉ bằng kéo và bóp:

tạo ra một lỗ xuyên qua giữa nó.

Muốn có donut, ta phải chọc thủng quả bóng.

Tức là thay đổi cấu trúc topology.

Vì thế:

$$ S^2 \not\cong T^2 $$

Trong đó:

• $S^2$ là mặt cầu.
• $T^2$ là torus.

Hai vật này có thể trông giống nhau nếu ta bóp chúng đủ kỳ dị.

Nhưng chúng không homeomorphic.

Đằng sau vẻ ngoài là một cấu trúc sâu hơn không chịu thay đổi.

Đây là một trong những ý tưởng đẹp nhất của topology:

Hình dạng có thể nói dối, nhưng cấu trúc kết nối thì khó nói dối hơn.

Một đứa trẻ 6 tuổi cũng có thể chơi topology

Giả sử mình đưa cho một đứa trẻ ba cục đất sét.

Cục thứ nhất nặn thành quả bóng.

Cục thứ hai nặn thành donut.

Cục thứ ba nặn thành chiếc cốc có quai.

Sau đó nói:

Con được bóp chúng thoải mái, nhưng không được xé đất sét.

Đứa trẻ có thể phát hiện:

• quả bóng không biến thành donut được;
• donut có thể biến thành cốc có quai;
• cốc có quai có thể biến trở lại donut.

Không cần biết từ “homeomorphism”.

Không cần học giải tích.

Không cần biết $S^2$ hay $T^2$.

Đứa trẻ đang làm topology bằng tay.

Đó là điều khá thú vị của toán học.

Có những lý thuyết phía sau toàn ký hiệu đáng sợ, nhưng trực giác ban đầu lại đơn giản đến mức ta có thể chơi với nó bằng đất sét.

Một bài toán khác: chữ cái cũng có topology

Thử nhìn ba chữ:

1A
2B
3C

Nếu chỉ quan tâm đến số vùng kín trong cách viết chữ in hoa kiểu đơn giản:

• C có 0 vùng kín.
• A có 1.
• B có 2.

Theo trực giác topology, chúng thuộc những loại khác nhau.

Các chữ:

1A   D   O   P   Q   R

thường đều có một vùng kín nếu xét nét chữ phù hợp.

Chúng trông khác nhau.

Nhưng topology có thể gom chúng vào cùng một nhóm dựa trên cấu trúc lỗ.

Tất nhiên đây chỉ là ví dụ minh họa. Font chữ, độ dày nét và việc ta xét đường nét hay vùng đặc sẽ làm bài toán chính xác thay đổi.

Nhưng trực giác vẫn rất đẹp:

Topology không nhìn hình theo cách mắt người nhìn.

Euler characteristic – một con số kỳ lạ rất khó giết

Ngoài genus, topology còn có nhiều invariant khác.

Một trong những invariant nổi tiếng là Euler characteristic.

Đối với một đa diện, ta có:

$$ \chi = V - E + F $$

Trong đó:

• $V$: số đỉnh (vertices).
• $E$: số cạnh (edges).
• $F$: số mặt (faces).

Ví dụ với một khối lập phương:

$$ V = 8 $$

$$ E = 12 $$

$$ F = 6 $$

nên:

$$ \chi = 8 - 12 + 6 = 2 $$

Bây giờ lấy một tứ diện.

Ta có:

$$ V = 4 $$

$$ E = 6 $$

$$ F = 4 $$

và:

$$ \chi = 4 - 6 + 4 = 2 $$

Hai đa diện trông hoàn toàn khác nhau.

Nhưng cả hai đều là các cách chia nhỏ một bề mặt giống mặt cầu.

Euler characteristic của chúng bằng nhau.

Với một bề mặt kín định hướng genus $g$, ta có:

$$ \chi = 2 - 2g $$

Quả cầu có:

$$ g=0 $$

nên:

$$ \chi=2 $$

Torus có:

$$ g=1 $$

nên:

$$ \chi=0 $$

Torus hai lỗ có:

$$ g=2 $$

nên:

$$ \chi=-2 $$

Một con số nhỏ bé.

Nhưng chỉ cần nhìn nó, ta có thể biết hai bề mặt chắc chắn không thể homeomorphic nếu Euler characteristic khác nhau.

Nghe hơi giống căn cước công dân của hình học.

Khuôn mặt có thể thay đổi.

Tóc có thể dài ra.

Người có thể béo lên.

Nhưng một số thông tin sâu hơn vẫn nói:

Không, hai người này không phải cùng một người.

Topology tìm kiếm những “căn cước” như vậy cho không gian.

Nhưng tại sao chúng ta cần một ngành toán học kỳ quặc như vậy?

Đến đây có thể hỏi:

Rồi sao? Biết cái cốc biến thành donut thì giúp được gì?

Một câu hỏi rất hợp lý.

Nếu topology chỉ tồn tại để các nhà toán học phá hỏng giờ uống cà phê thì hơi phí ngân sách.

Thực tế, ý tưởng topology xuất hiện ở rất nhiều nơi.

Mạng máy tính

Giả sử ta có:

1A ----- B ----- C
2       / \
3      D   E

Ta không nhất thiết quan tâm dây mạng dài 2 mét hay 20 km.

Điều quan trọng có thể là:

• node nào nối với node nào;
• nếu B chết thì mạng có bị chia đôi không;
• có đường đi khác từ A tới C không.

Đó đã mang tinh thần topology.

Hình dạng vật lý của dây cáp không quan trọng bằng cấu trúc kết nối.

Robotics

Một robot đang tìm đường trong căn phòng.

Có bàn.

Có ghế.

Có tường.

Robot không cần nhớ chính xác từng nguyên tử của căn phòng.

Nó quan tâm nhiều tới những câu hỏi như:

• khu vực nào thông với khu vực nào;
• có đường vòng quanh vật cản không;
• hai đường đi có thực sự khác nhau hay chỉ là hai phiên bản biến dạng của cùng một đường.

Topology xuất hiện tự nhiên trong motion planning.

Data Science

Có một lĩnh vực gọi là Topological Data Analysis – TDA.

Ý tưởng khá ngáo nhưng đẹp:

Giả sử ta có một đám dữ liệu hàng nghìn chiều.

Mắt người không thể nhìn trực tiếp.

Ta có thể tìm cấu trúc như:

• cụm;
• vòng;
• lỗ;
• thành phần liên thông;

và xem các cấu trúc đó tồn tại ổn định đến mức nào.

Một kỹ thuật nổi tiếng là persistent homology.

Tên nghe như phép thuật cấp cao.

Nhưng trực giác cơ bản là:

Thay đổi dần khoảng cách mà ta dùng để nối các điểm dữ liệu, rồi theo dõi những cái lỗ nào xuất hiện và tồn tại lâu.

Lỗ xuất hiện rồi chết ngay có thể chỉ là noise.

Lỗ tồn tại qua một khoảng lớn có thể phản ánh cấu trúc thật của dữ liệu.

Vật lý

Topology còn xuất hiện trong:

• condensed matter physics;
• topological insulators;
• quantum field theory;
• defects trong vật liệu;
• topology của không-thời gian.

Ở đây khái niệm trở nên sâu hơn rất nhiều so với câu chuyện donut.

Nhưng tinh thần vẫn giống nhau:

Có những đại lượng không phụ thuộc vào những biến dạng nhỏ cục bộ.

Bạn có thể rung hệ thống.

Bóp nó.

Nhiễu một chút.

Một tính chất topology vẫn có thể sống sót.

Và đó là lý do topology đặc biệt hấp dẫn trong vật lý: thứ gì sống được qua nhiễu thường rất đáng để nghiên cứu.

Knot theory: đến một sợi dây cũng có thể làm toán học phát điên

Lấy một sợi dây.

Nối hai đầu lại thành vòng.

Nếu vòng không có nút thắt:

1      ______
2    /        \
3    \        /
4      ------

ta có unknot.

Bây giờ trước khi nối hai đầu, ta thắt dây thành một nút.

Sau đó mới nối.

Câu hỏi là:

Có thể tháo nút này chỉ bằng cách kéo, uốn và vặn sợi dây mà không cắt nó không?

Nếu không thể, ta có một knot topology thực sự khác.

Knot theory nghiên cứu những thứ như vậy.

Và đột nhiên trò nghịch dây của trẻ con dẫn tới:

• DNA;
• molecular biology;
• polymer;
• statistical mechanics;
• quantum theory.

Một sợi DNA dài có thể bị xoắn, quấn và thắt nút.

Các enzyme trong tế bào thậm chí phải thực hiện những thao tác cắt và nối DNA để thay đổi topology của nó.

Thứ trông như trò chơi với dây hóa ra lại xảy ra ngay trong từng tế bào sống.

Một thế giới mà khoảng cách không còn quan trọng

Đây có lẽ là điều kỳ lạ nhất khi lần đầu học topology.

Trong cuộc sống, ta bị ám ảnh bởi khoảng cách.

Nhà cách công ty bao xa?

Ổ SSD còn bao nhiêu GB?

Màn hình rộng bao nhiêu inch?

Server latency bao nhiêu millisecond?

Nhưng topology tạm thời ném tất cả những thứ đó ra cửa sổ.

Một đoạn cao su dài 1 cm và một đoạn dài 1 km có thể cùng cấu trúc topology.

Khoảng cách thay đổi.

Góc thay đổi.

Diện tích thay đổi.

Độ cong thay đổi.

Nhưng tính liên tục và cấu trúc kết nối vẫn còn.

Ta có thể hình dung toán học đang bóc từng lớp của thực tại.

Geometry nói:

Tôi quan tâm hình dạng.

Metric geometry nói:

Tôi quan tâm khoảng cách.

Differential geometry nói:

Tôi quan tâm độ cong.

Topology nói:

Mấy ông cứ tranh luận độ dài với góc đi. Tôi chỉ muốn biết thứ gì vẫn còn sau khi toàn bộ hình dạng bị nhào nát.

Và đôi khi, thứ còn lại sau khi mọi chi tiết bị bóc đi mới chính là cấu trúc sâu nhất.

Một ví dụ lập trình cực nhỏ

Ta có thể minh họa ý tưởng về connectivity bằng một graph.

1graph = {
2    "A": ["B"],
3    "B": ["A", "C", "D"],
4    "C": ["B"],
5    "D": ["B"]
6}

Ta có thể vẽ graph này theo rất nhiều kiểu:

1A --- B --- C
2      |
3      D

hoặc:

1      C
2      |
3A --- B
4      |
5      D

hoặc méo mó hơn:

1D
2 \
3  B -------- A
4   \
5    C

Tọa độ thay đổi hoàn toàn.

Nhưng connectivity vẫn là:

1A ↔ B
2B ↔ C
3B ↔ D

Theo tinh thần topology, ba hình vẽ đang mô tả cùng một cấu trúc kết nối.

Đây cũng là lý do khi nói tới network topology, người ta thường quan tâm đến cách các node kết nối hơn là vị trí hình học tuyệt đối của chúng.

Topology không phải chỉ là “đếm lỗ”

Đến đây rất dễ hiểu lầm rằng:

À topology là môn đếm lỗ.

Không hẳn.

Đếm lỗ chỉ là cánh cửa dễ bước vào nhất.

Topology hiện đại nghiên cứu những thứ rộng hơn rất nhiều:

• topological spaces;
• continuity;
• compactness;
• connectedness;
• manifolds;
• homotopy;
• homology;
• cohomology;
• knot theory;
• algebraic topology;
• differential topology;
• geometric topology.

Ví dụ, hai không gian có cùng số lỗ chưa chắc đã homeomorphic.

Muốn phân loại không gian phức tạp, ta cần nhiều invariant mạnh hơn.

Trong algebraic topology, người ta làm một trò đặc biệt đẹp:

Biến những câu hỏi về hình dạng thành những đối tượng đại số.

Ta lấy một không gian rất khó nhìn.

Sau đó gán cho nó:

• group;
• ring;
• vector space;
• chain complex.

Rồi thay vì vật lộn trực tiếp với hình dạng, ta tính toán trên đại số.

Một trong những ví dụ nổi tiếng nhất là fundamental group:

$$ \pi_1(X) $$

Nó mô tả, theo một nghĩa nào đó, những loại vòng kín trong không gian $X$ mà không thể co lại thành một điểm.

Với mặt phẳng:

$$ \pi_1(\mathbb{R}^2) = 0 $$

Mọi vòng tròn có thể co lại thành một điểm.

Nhưng nếu lấy mặt phẳng rồi chọc mất điểm ở giữa:

$$ \mathbb{R}^2 \setminus {0} $$

một vòng quấn quanh cái lỗ không thể co lại thành điểm nếu ta không cho phép đi xuyên qua cái lỗ.

Chỉ mất đúng một điểm.

Nhưng cấu trúc của cả không gian thay đổi.

Đây là kiểu chuyện topology rất thích.

Một cái lỗ nhỏ có thể thay đổi cả vũ trụ

Hãy tưởng tượng một tờ giấy vô hạn.

Bạn vẽ một vòng tròn lên đó.

Bạn có thể thu vòng tròn nhỏ dần:

1O
2
3o
4
5.

cuối cùng thành một điểm.

Không vấn đề.

Bây giờ khoét một lỗ ở giữa tờ giấy.

Vẽ vòng tròn bao quanh cái lỗ.

Muốn thu vòng đó thành điểm, nó sẽ phải đi xuyên qua cái lỗ.

Không được.

Vậy một điểm bị lấy khỏi không gian đã thay đổi hoàn toàn những đường đi có thể tồn tại trong đó.

Nghe rất nhỏ.

Nhưng toán học đôi khi như thế.

Một lỗ bé tí có thể chia thế giới thành hai loại đường:

• đường có thể co lại;
• đường không thể co lại.

Và từ đó sinh ra cả một cấu trúc đại số.

Topology giống như hỏi: “Sau khi phá hết vẻ ngoài, thứ gì vẫn là nó?”

Đây là chỗ topology bắt đầu có màu triết học.

Ta thường nghĩ một vật là chính nó vì hình dạng.

Một chiếc cốc là chiếc cốc vì:

• có thân;
• có miệng;
• có quai;
• có đáy.

Nhưng topology nói:

Không.

Đó chỉ là một cách biểu hiện.

Nếu ta kéo giãn đủ mạnh, hình dạng có thể biến mất hoàn toàn trong khi cấu trúc sâu hơn vẫn còn.

Chiếc cốc trở thành donut.

Donut thành chiếc cốc.

Hai bộ mặt.

Một cấu trúc.

Trong cuộc sống vật lý, chúng rõ ràng khác nhau.

Một cái chứa được cà phê.

Một cái ăn được.

Đừng thử đảo ngược hai chức năng này để chứng minh topology.

Nhưng trong thế giới toán học nơi khoảng cách, góc và kích thước bị lột bỏ, chúng có thể trở thành hai biểu diễn của cùng một loại không gian.

Topology vì thế có một cách nhìn rất kỳ lạ:

Đừng hỏi một vật trông như thế nào.

Hãy hỏi nó có thể biến đổi đến đâu mà vẫn chưa trở thành một thứ thực sự khác.

Bài toán chính

Nếu phải tóm topology bằng một câu, mình sẽ dùng câu này:

Topology nghiên cứu những tính chất của không gian được bảo toàn dưới các biến đổi liên tục.

Hoặc nói cho một đứa trẻ sáu tuổi:

Nếu đồ vật làm bằng đất sét và con được bóp nó nhưng không được xé, những hình nào có thể biến thành nhau?

Cốc có một quai:

$$ \longleftrightarrow $$

donut một lỗ.

Hợp lệ.

Quả bóng:

$$ \not\longleftrightarrow $$

donut.

Không hợp lệ nếu không chọc thêm lỗ.

Hai donut dính nhau:

$$ \not\longleftrightarrow $$

một donut.

Muốn mất một lỗ, ta phải thực hiện một thay đổi topology.

Xong thuật toán.

Quá dễ.

Chỉ có điều từ trò chơi đất sét này, nhân loại đã xây nên cả một ngành toán học đủ sâu để liên quan tới không gian nhiều chiều, vật lý lượng tử, DNA và cấu trúc của chính vũ trụ.

Vì một lý do nào đó mà một chiếc bánh donut chắc cũng không ngờ cuộc đời mình lại đi xa đến thế.

Tổng kết

Topology dạy chúng ta một cách nhìn rất khác về hình dạng.

Hình có thể dài hơn.

Ngắn hơn.

Cong hơn.

Méo hơn.

To hơn.

Nhỏ hơn.

Nhưng nếu những thay đổi ấy chỉ là biến dạng liên tục, một số cấu trúc sâu bên dưới vẫn tồn tại.

Đó là lý do chiếc cốc cà phê có một quai và chiếc donut một lỗ trở thành biểu tượng nổi tiếng của topology.

Không phải vì chúng thực sự giống nhau trên bàn ăn.

Mà vì khi toán học gỡ bỏ màu sắc, kích thước, góc cạnh và công dụng, cả hai vẫn giữ lại cùng một cấu trúc cơ bản: một tay cầm, một lỗ xuyên qua.

Và có lẽ đó cũng là điều đẹp nhất của topology.

Nó không chỉ nghiên cứu hình dạng.

Nó nghiên cứu cái gì còn lại khi hình dạng không còn đáng tin nữa.

Một chiếc cốc có thể trở thành donut.

Một hình vuông có thể thành hình tròn.

Một không gian khổng lồ có thể được nhận diện chỉ bằng vài invariant nhỏ bé.

Ở phía trên, mọi thứ liên tục thay hình đổi dạng.

Ở phía dưới, một vài cấu trúc vẫn đứng im.

Topology chính là toán học của những thứ không chịu biến mất.

Cảm ơn các bạn đã quan tâm và theo dõi bài viết, hẹn gặp lại ở các bài viết tiếp theo.

Tham khảo

• James R. Munkres, Topology, Pearson.
• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press.
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, Springer.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Topology
• https://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism
• https://en.wikipedia.org/wiki/Torus
• https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group
• https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf