Đặt vấn đề
Có một chuyện khá kỳ quặc trong lịch sử toán học.
Hồi đi học chúng ta được dạy phương trình bậc hai:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
và thầy giáo ung dung viết lên bảng:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Một công thức đẹp đẽ, gọn gàng, bỏ $a$, $b$, $c$ vào một đầu, hai nghiệm rơi ra đầu kia.
Quá tiện.
Sau đó con người tìm được công thức cho phương trình bậc ba.
Rồi bậc bốn.
Thế là nếu đang sống vào khoảng thế kỷ XVI, có lẽ ta sẽ nghĩ:
Bậc hai có công thức. Bậc ba có công thức. Bậc bốn có công thức. Vậy bậc năm chắc chỉ là công thức dài hơn một chút.
Nghe hợp lý kinh khủng.
Chắc bậc năm sẽ có vài căn bậc hai, căn bậc ba, thêm mấy dấu ngoặc to như cái nồi cơm điện rồi xong.
Nhưng không.
Con đường này đột nhiên gãy.
Không phải vì các nhà toán học chưa đủ thông minh.
Không phải vì công thức quá dài nên chưa ai viết hết.
Mà vì công thức ấy không tồn tại.
Cụ thể hơn:
Không tồn tại công thức tổng quát giải mọi phương trình bậc năm chỉ bằng một số hữu hạn phép cộng, trừ, nhân, chia và khai căn.
Đây là định lý Abel–Ruffini.
Nhưng câu hỏi thú vị hơn là:
Tại sao?
Tại sao thiên nhiên lại cho bậc hai, bậc ba, bậc bốn đi qua cánh cửa, rồi đến bậc năm thì đóng sầm cửa lại?
Lý thuyết Galois sinh ra để trả lời câu hỏi đó.
Và điều hơi ngáo ở đây là Galois không nghiên cứu công thức nghiệm theo cách chúng ta tưởng.
Ông nhìn vào cách các nghiệm có thể đổi chỗ cho nhau.
Từ một bài toán về phương trình, ông biến nó thành một bài toán về đối xứng.
Đó là cú bẻ lái rất đẹp của toán học.
Từ một phương trình đến một đám nghiệm bí ẩn
Giả sử ta có phương trình:
$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$
Ta phân tích được:
$$ (x-2)(x-3)=0 $$
nên hai nghiệm là:
$$ x_1=2,\qquad x_2=3 $$
Chẳng có gì bí hiểm.
Nhưng bây giờ hãy giả sử chúng ta chưa biết nghiệm.
Ta chỉ biết rằng có hai con số $x_1$ và $x_2$ thỏa:
$$ x_1+x_2=5 $$
và:
$$ x_1x_2=6 $$
Điều đáng chú ý là nếu đổi:
$$ x_1 \leftrightarrow x_2 $$
thì mọi quan hệ trên vẫn đúng.
Hai nghiệm có thể tráo ghế cho nhau mà phương trình không hề quan tâm.
Đối với phương trình, nhãn “$x_1$” hay “$x_2$” chỉ là thứ con người dán lên.
Đây là hạt giống của lý thuyết Galois.
Galois không nhìn nghiệm, Galois nhìn cách nghiệm đổi chỗ
Hãy tưởng tượng có năm đứa trẻ đứng trong một căn phòng:
1A B C D E
Ta có thể đổi chỗ chúng:
1B A C D E
hoặc:
1C E A B D
Có tổng cộng:
$$ 5! = 120 $$
cách sắp xếp năm đứa trẻ.
Bây giờ thay năm đứa trẻ bằng năm nghiệm:
$$ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $$
Một phương trình bậc năm tổng quát:
$$ ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 $$
có năm nghiệm trong trường số phức nếu tính cả nghiệm lặp.
Ta có thể tưởng tượng 120 cách hoán vị năm nghiệm này.
Nhưng không phải lúc nào tất cả các hoán vị đều được phép.
Ta chỉ quan tâm những phép đổi chỗ không phá hỏng các quan hệ đại số mà ta đã biết.
Tập hợp những phép đổi chỗ hợp lệ đó tạo thành một nhóm (group).
Đó chính là nhóm Galois.
Có thể hình dung:
1 phương trình
2 │
3 ▼
4 ┌────────────────┐
5 │ các nghiệm │
6 │ x₁ x₂ x₃ ... │
7 └───────┬────────┘
8 │
9 hỏi: đổi chỗ thế nào mà
10 mọi quan hệ đại số vẫn đúng?
11 │
12 ▼
13 ┌────────────────┐
14 │ Galois group │
15 │ nhóm đối xứng │
16 └────────────────┘
Đây là bước nhảy tư duy rất lớn.
Ta bắt đầu bằng:
“Làm sao tính nghiệm?”
Galois chuyển thành:
“Cấu trúc đối xứng giữa các nghiệm là gì?”
Nghe như đang hỏi đường đi Bình Thạnh mà tài xế chở thẳng sang một vũ trụ khác.
Nhưng chính ở vũ trụ đó, câu trả lời lại trở nên rõ ràng.
Trường số: cái hộp những con số ta được phép dùng
Trước khi đi tiếp, cần nói về một khái niệm quan trọng: trường (field).
Nghe hơi đáng sợ nhưng ý tưởng rất đơn giản.
Giả sử ta bắt đầu với số hữu tỉ:
$$ \mathbb{Q} $$
tức các số như:
$$ 1,\quad -3,\quad \frac{2}{7},\quad \frac{123}{19} $$
Ta có thể cộng, trừ, nhân và chia chúng, miễn là không chia cho 0.
Ví dụ:
$$ \frac{2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{29}{21} $$
kết quả vẫn là số hữu tỉ.
Nhưng:
$$ \sqrt{2} $$
không nằm trong $\mathbb{Q}$.
Nếu muốn dùng $\sqrt{2}$, ta phải mở rộng cái hộp:
$$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $$
Ta vừa xây một field extension, hay mở rộng trường.
Hãy tưởng tượng như game.
Ban đầu inventory của ta chỉ có:
1Q = {số hữu tỉ}
Sau đó nhặt được vật phẩm:
1√2
Inventory mới chứa tất cả những thứ có dạng:
$$ a+b\sqrt{2} $$
với $a,b\in\mathbb{Q}$.
Ví dụ:
$$ 3+2\sqrt{2} $$
hay:
$$ \frac{7}{3}-5\sqrt{2} $$
đều nằm trong trường mới.
Giải phương trình bằng căn thực chất là mở rộng trường từng tầng
Đây là điểm cực kỳ quan trọng.
Khi chúng ta nói:
“Giải phương trình bằng căn.”
thực ra ta đang nói rằng có thể bắt đầu từ trường chứa các hệ số, sau đó mở rộng nó từng bước bằng cách thêm các căn.
Ví dụ:
$$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \subset \cdots $$
Mỗi lần thêm một radical giống như mở thêm một cánh cửa.
1Q
2│
3├── thêm √a
4▼
5Q(√a)
6│
7├── thêm ³√b
8▼
9Q(√a, ³√b)
10│
11├── thêm ⁿ√c
12▼
13...
Nếu cuối con đường ta thu được tất cả nghiệm của phương trình, phương trình được gọi là solvable by radicals — giải được bằng căn.
Và từ đây Galois đặt ra một câu hỏi hoàn toàn khác:
Cấu trúc đối xứng nào tương ứng với một chuỗi mở rộng bằng căn như vậy?
Đây chính là nơi phép thuật xảy ra.
Định lý lớn của Galois
Phiên bản đơn giản hóa của kết quả quan trọng là:
Một đa thức trên trường đặc số 0, chẳng hạn $\mathbb{Q}$, giải được bằng căn nếu nhóm Galois của nó là một nhóm giải được (solvable group).
Cần cẩn thận một chút:
“nhóm giải được” ở đây là tên của một cấu trúc toán học cụ thể.
Nó không có nghĩa đơn giản là:
“nhóm này giải phương trình được.”
Hai khái niệm được nối với nhau bởi một định lý sâu.
Ta có một cây cầu:
1 THẾ GIỚI PHƯƠNG TRÌNH
2 │
3 │
4 │ Galois theory
5 ▼
6 THẾ GIỚI ĐỐI XỨNG
Cụ thể hơn:
1giải được bằng căn
2 ⇅
3Galois group là solvable
Đột nhiên bài toán:
“Có công thức nghiệm hay không?”
biến thành:
“Nhóm đối xứng này có solvable hay không?”
Đây là vẻ đẹp của lý thuyết Galois.
Ta không còn cố tìm công thức.
Ta kiểm tra xem cấu trúc toán học có cho phép một công thức như vậy tồn tại hay không.
Nhưng “nhóm giải được” là cái gì?
Giả sử có một nhóm đối xứng rất phức tạp.
Ta thử bóc nó từng lớp:
1G
2│
3▼
4G₁
5│
6▼
7G₂
8│
9▼
10G₃
11│
12▼
13{e}
Trong một nhóm giải được, ta có thể tìm một chuỗi nhóm con chuẩn tắc:
$$ G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots \triangleright G_n={e} $$
sao cho mỗi thương:
$$ G_i/G_{i+1} $$
là nhóm Abel.
“Abel” ở đây nghĩa là thứ tự thực hiện không quan trọng:
$$ ab=ba $$
Có thể hình dung một nhóm solvable giống như một cỗ máy phức tạp nhưng tháo ra được thành những bánh răng tương đối đơn giản.
1cỗ máy phức tạp
2 │
3 ▼
4┌──────────────┐
5│ lớp đơn giản │
6├──────────────┤
7│ lớp đơn giản │
8├──────────────┤
9│ lớp đơn giản │
10├──────────────┤
11│ lớp đơn giản │
12└──────────────┘
Phép khai căn cũng tạo ra các lớp mở rộng đại số có cấu trúc tương ứng.
Vì vậy nếu đối xứng của nghiệm có thể bóc ra từng lớp theo kiểu phù hợp, ta có hy vọng biểu diễn nghiệm bằng căn.
Nếu nó chứa một lõi đối xứng quá cứng đầu, con đường radical bị chặn.
Tại sao bậc hai giải được?
Xét:
$$ ax^2+bx+c=0 $$
Hai nghiệm có thể hoán đổi cho nhau.
Nhóm đối xứng tổng quát của hai phần tử là:
$$ S_2 $$
với:
$$ |S_2|=2 $$
Nó cực kỳ đơn giản.
Và $S_2$ là solvable.
Do đó việc có công thức bằng căn hoàn toàn phù hợp với lý thuyết Galois.
Đó chính là công thức quen thuộc:
$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Ở đây dấu:
$$ \pm $$
thậm chí còn phản ánh việc hai nghiệm có thể đổi chỗ cho nhau.
Bậc ba thì sao?
Phương trình bậc ba tổng quát có ba nghiệm.
Nhóm hoán vị đầy đủ là:
$$ S_3 $$
với:
$$ |S_3|=3!=6 $$
$S_3$ không giao hoán.
Nhưng không giao hoán chưa phải tận thế.
Nó vẫn là một solvable group.
Bởi vậy phương trình bậc ba tổng quát vẫn giải được bằng radical.
Cardano và các nhà toán học thế kỷ XVI đã tìm được công thức.
Công thức khá kinh dị, nhưng tồn tại.
Bậc bốn vẫn còn sống
Với bốn nghiệm, ta có:
$$ S_4 $$
và:
$$ |S_4|=4!=24 $$
$S_4$ phức tạp hơn nhiều.
Nhưng nó vẫn solvable.
Do đó phương trình bậc bốn tổng quát vẫn có thể giải bằng căn.
Ferrari đã tìm ra công thức từ thế kỷ XVI.
Đến đây mọi thứ trông rất đẹp:
| Bậc | Nhóm đối xứng tổng quát | Giải được bằng căn? |
|---|---|---|
| 2 | $S_2$ | Có |
| 3 | $S_3$ | Có |
| 4 | $S_4$ | Có |
Nhìn bảng này, chắc rất nhiều nhà toán học ngày xưa đã nghĩ:
“Bậc năm chắc chỉ cần uống thêm hai ly cà phê.”
Rồi họ gặp $S_5$.
Con quái vật xuất hiện ở bậc năm
Phương trình bậc năm tổng quát có năm nghiệm:
$$ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $$
Có:
$$ 5!=120 $$
hoán vị.
Nhóm đối xứng tổng quát là:
$$ S_5 $$
Và đây là nơi mọi thứ thay đổi.
$S_5$ chứa một nhóm con rất quan trọng:
$$ A_5 $$
gọi là nhóm alternating trên năm phần tử.
$A_5$ chứa:
$$ \frac{5!}{2}=60 $$
phần tử.
Và $A_5$ là một nhóm đơn không giao hoán (non-abelian simple group).
Đây chính là bức tường.
Nhóm đơn giống một viên nguyên tử không tháo được
Hãy tưởng tượng một cỗ máy Lego.
Nếu mỗi bộ phận có thể tháo thành những khối nhỏ hơn:
1máy
2 ↓
3khối
4 ↓
5khối nhỏ
6 ↓
7miếng Lego
thì ta có thể hiểu cấu trúc của nó từng tầng.
Nhưng $A_5$ giống như gặp một cục đen sì:
1 A₅
2 ┌───────┐
3 │ ? │
4 │ ☠ │
5 └───────┘
Nó là simple group.
Nói chính xác hơn, $A_5$ không có nhóm con chuẩn tắc không tầm thường.
Ta không thể tiếp tục phân rã nó bằng chuỗi chuẩn tắc sao cho cuối cùng mọi thương đều Abel.
Vì vậy $A_5$ không solvable.
Mà $A_5$ nằm bên trong $S_5$ theo cách khiến $S_5$ cũng không solvable.
Từ đó:
$$ S_5\text{ không solvable} $$
và vì phương trình bậc năm tổng quát có nhóm Galois $S_5$:
$$ \boxed{ \text{phương trình bậc 5 tổng quát không giải được bằng radical} } $$
Thế là hết.
Không phải công thức chưa được tìm thấy.
Không có công thức để tìm.
Một hình dung toàn bộ câu chuyện
Ta có thể tóm lại bằng chuỗi:
1Phương trình
2 │
3 ▼
4Các nghiệm
5 │
6 ▼
7Các phép hoán vị nghiệm
8không làm thay đổi quan hệ đại số
9 │
10 ▼
11Galois group
12 │
13 ▼
14Nhóm đó có solvable không?
15 │
16 ┌─┴───────────────┐
17 │ │
18 Có Không
19 │ │
20 ▼ ▼
21có thể giải không thể giải
22bằng radical tổng quát bằng radical
Đối với đa thức tổng quát:
1degree 2 → S₂ → solvable
2degree 3 → S₃ → solvable
3degree 4 → S₄ → solvable
4degree 5 → S₅ → NOT solvable
Ngưỡng bậc năm không phải một tai nạn.
Nó xuất hiện bởi vì:
$$ A_5 $$
là non-abelian simple group đầu tiên xuất hiện trong chuỗi các symmetric group.
Nhưng khoan: có phải mọi phương trình bậc 5 đều không giải được?
Không.
Đây là chỗ rất dễ hiểu nhầm.
Định lý Abel–Ruffini không nói rằng không phương trình bậc năm nào có công thức nghiệm.
Ví dụ:
$$ x^5-32=0 $$
quá dễ.
Ta có:
$$ x^5=32 $$
nên một nghiệm là:
$$ x=2 $$
và toàn bộ năm nghiệm phức có thể biểu diễn bằng căn và nghiệm đơn vị.
Hay phương trình:
$$ x^5-x=0 $$
ta phân tích:
$$ x(x^4-1)=0 $$
$$ x(x^2-1)(x^2+1)=0 $$
suy ra:
$$ x=0,\pm1,\pm i $$
Không có vấn đề gì.
Điều Abel–Ruffini nói là:
Không tồn tại một công thức radical duy nhất áp dụng cho mọi phương trình bậc năm, giống như công thức nghiệm bậc hai.
Một số phương trình bậc năm có nhóm Galois solvable.
Những phương trình đó vẫn giải được bằng radical.
Một số khác có nhóm Galois là $S_5$ hoặc chứa cấu trúc không solvable.
Những phương trình đó thì không.
Một ví dụ bậc năm thật sự không giải được bằng căn
Một ví dụ nổi tiếng là:
$$ x^5-x-1=0 $$
Đa thức này có nhóm Galois trên $\mathbb{Q}$ là:
$$ S_5 $$
Do $S_5$ không solvable nên nghiệm của nó không thể được biểu diễn chỉ bằng một chuỗi hữu hạn các phép:
- cộng
- trừ
- nhân
- chia
- khai căn bậc $n$
bắt đầu từ số hữu tỉ.
Nhưng đừng hiểu rằng ta “không tìm được nghiệm”.
Máy tính vẫn có thể tính nghiệm gần đúng.
Ví dụ nghiệm thực xấp xỉ:
$$ x\approx1.167303978 $$
Ta có thể dùng Newton’s method:
1def newton(x, iterations=20):
2 for _ in range(iterations):
3 f = x**5 - x - 1
4 df = 5*x**4 - 1
5 x -= f / df
6 return x
7
8print(newton(1.2))
Ta sẽ nhận được giá trị gần:
11.167303978...
Vậy:
1không có công thức radical
hoàn toàn khác với:
1không tính được nghiệm
Hai chuyện này cách nhau khá xa.
Công thức nghiệm không phải là cách duy nhất để giải phương trình
Đây cũng là một bài học khá thú vị.
Con người thường bị công thức mê hoặc.
Ta nhìn phương trình:
$$ x^5-x-1=0 $$
rồi hỏi:
“Công thức nghiệm đâu?”
Nhưng máy tính chẳng quan tâm.
Nó có thể dùng:
- Newton–Raphson
- bisection
- companion matrix
- Jenkins–Traub
- Durand–Kerner
- Aberth method
để tìm nghiệm số.
Ví dụ Newton:
$$ x_{n+1}
x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $$
với:
$$ f(x)=x^5-x-1 $$
thì:
$$ f’(x)=5x^4-1 $$
Chọn $x_0=1.2$, sau vài vòng lặp đã thu được nghiệm với độ chính xác rất cao.
Cho nên việc không có công thức radical không hề khiến phương trình bậc năm trở thành thứ vô dụng.
Nó chỉ nói rằng một loại ngôn ngữ toán học cụ thể — cộng, trừ, nhân, chia và radical — không đủ sức mô tả nghiệm tổng quát.
Vấn đề sâu hơn: chúng ta đang hỏi ngôn ngữ nào đủ mạnh?
Đây là phần mình thấy đẹp nhất.
Hãy tưởng tượng một đứa trẻ có hộp Lego gồm đúng năm loại mảnh:
1+
2-
3×
4÷
5√
Ta nói:
Hãy xây nghiệm của mọi phương trình bằng những viên Lego này.
Bậc hai: xây được.
Bậc ba: xây được.
Bậc bốn: vẫn xây được, dù nhìn hơi quái vật.
Bậc năm tổng quát:
Không được.
Không phải vì đứa trẻ ngu.
Không phải vì thiếu thời gian.
Mà vì hình dạng cần xây không thuộc thế giới mà bộ Lego đó có thể tạo ra.
Đó là điều Lý thuyết Galois chứng minh.
Nó không bảo:
“Ta chưa biết cách.”
Nó bảo:
“Với những phép toán anh cho phép, cách đó không thể tồn tại.”
Hai câu này khác nhau khủng khiếp.
Từ nghiệm phương trình đến symmetry
Điều làm Galois Theory kỳ lạ là nó nhìn đa thức như nhìn một vật thể có đối xứng.
Một hình vuông có đối xứng:
1┌───────┐
2│ │
3│ │
4└───────┘
Ta có thể:
- quay 90 độ
- quay 180 độ
- quay 270 độ
- lật theo trục
- giữ nguyên
mà hình vẫn là hình vuông.
Nhóm các phép biến đổi đó là một group.
Đa thức cũng có “đối xứng”, chỉ là ta không nhìn thấy bằng mắt.
Ta nhìn nó thông qua các nghiệm.
1hình vuông
2 │
3 └── đối xứng vị trí các đỉnh
4
5đa thức
6 │
7 └── đối xứng giữa các nghiệm
Và Galois phát hiện:
Cấu trúc đối xứng vô hình này kiểm soát việc phương trình có giải được bằng căn hay không.
Một phương trình trên giấy trông như:
$$ x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$
Nhưng bên dưới nó là một cỗ máy đối xứng gồm hàng chục hay hàng trăm phép hoán vị đang hoạt động.
Những chữ $x$, $a$, $b$, $c$ chỉ là bề mặt.
Phía dưới là group theory.
Một chút về Galois correspondence
Lý thuyết còn đi xa hơn.
Giả sử $L$ là trường chứa tất cả nghiệm của đa thức, còn $K$ là trường ban đầu.
Ta có:
$$ K\subseteq L $$
Galois chỉ ra rằng các trường trung gian:
$$ K\subseteq E\subseteq L $$
có quan hệ rất đẹp với các subgroup của Galois group:
$$ G=\operatorname{Gal}(L/K) $$
Sơ đồ đại khái:
1 L
2 / \
3 / \
4 E₁ E₂
5 \ /
6 \ /
7 K
tương ứng ngược với:
1 {e}
2 / \
3 / \
4 H₁ H₂
5 \ /
6 \ /
7 G
Trường càng lớn thì subgroup tương ứng càng nhỏ.
Đây gọi là Fundamental Theorem of Galois Theory.
Nó tạo một cây cầu giữa hai thế giới tưởng chẳng liên quan:
1FIELD THEORY GROUP THEORY
2
3trường mở rộng ←→ nhóm đối xứng
4trường trung gian ←→ subgroup
5normal extension ←→ normal subgroup
6radicals ←→ solvable structure
Nhờ cây cầu này, ta có thể nghiên cứu phương trình bằng group theory thay vì trực tiếp vật lộn với biểu thức đại số.
Tại sao bậc 5 là ranh giới?
Ta có chuỗi:
$$ S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6,\ldots $$
Điều đặc biệt xảy ra ở:
$$ n=5 $$
Bởi vì với:
$$ n\ge5 $$
nhóm alternating:
$$ A_n $$
là simple non-abelian group.
Và:
$$ A_n\triangleleft S_n $$
Do đó $S_n$ không solvable khi:
$$ n\ge5 $$
Nói đơn giản:
1n = 2
2symmetry còn hiền
3
4n = 3
5symmetry bắt đầu rối
6
7n = 4
8rất rối nhưng vẫn tháo được
9
10n = 5
11xuất hiện A₅
12 ↓
13một lõi đối xứng không Abel
14không thể phân rã theo cách cần thiết
15 ↓
16radical chịu thua
Đây là lý do ranh giới xuất hiện chính xác tại bậc năm.
Không phải bậc năm “xấu”.
Không phải số 5 bị toán học ghét.
Chỉ đơn giản là tại đây cấu trúc đối xứng đã đủ phức tạp để xuất hiện một loại vật thể hoàn toàn mới.
A5 còn xuất hiện ở một nơi rất đẹp
$A_5$ không chỉ là con quái vật phá hỏng giấc mơ công thức bậc năm.
Nó còn liên quan rất sâu đến đối xứng của khối 20 mặt đều — icosahedron.
Một icosahedron có:
- 20 mặt tam giác
- 30 cạnh
- 12 đỉnh
Nhóm đối xứng quay của nó có:
$$ 60 $$
phần tử.
Đúng bằng:
$$ |A_5|=60 $$
Thực ra nhóm đối xứng quay của icosahedron đẳng cấu với $A_5$.
1 phương trình bậc 5
2 │
3 ▼
4 A₅
5 / \
6 / \
7 ▼ ▼
8 Galois theory icosahedron
Một nhóm xuất hiện khi đổi chỗ nghiệm của phương trình lại đồng thời mô tả cách một vật thể ba chiều có thể quay trong không gian.
Toán học thỉnh thoảng làm những chuyện như vậy.
Ta đào một cái hố trong đại số và bất ngờ chui lên giữa hình học.
Évariste Galois và cú nhảy tư duy
Không thể nói về lý thuyết này mà bỏ qua Évariste Galois.
Galois sinh năm 1811 tại Pháp và qua đời năm 1832.
Ông mới 20 tuổi.
Trong quãng đời cực kỳ ngắn đó, Galois đã nhìn thấy một ý tưởng mà về sau trở thành một phần nền tảng của đại số hiện đại.
Trước Galois, người ta chủ yếu hỏi:
Làm sao tìm công thức nghiệm?
Galois hỏi:
Điều gì quyết định việc một công thức như vậy có thể tồn tại?
Đó là một thay đổi về tầng suy nghĩ.
Giống như thay vì thử hàng triệu chìa khóa vào ổ khóa, ta tháo ổ khóa ra xem cấu trúc bên trong và chứng minh rằng loại chìa khóa mình đang cầm vốn không thể mở nó.
Đây là cách toán học trưởng thành.
Từ:
“Tìm đáp án.”
sang:
“Tìm cấu trúc quyết định loại đáp án nào có thể tồn tại.”
Một ví dụ đời thường để hình dung Galois group
Giả sử có ba cái hộp:
1A B C
bên trong chứa ba món đồ bí mật.
Ta không biết chính xác món nào nằm đâu.
Nhưng ta biết:
1tổng khối lượng = 10 kg
2tích một số thuộc tính = 24
3một vài quan hệ khác...
Nếu đổi A và B mà tất cả thông tin ta biết vẫn đúng, thì với lượng thông tin hiện có, A và B là không phân biệt được.
Ta có một symmetry.
Nếu một phép đổi khác làm phá vỡ một quan hệ đã biết, phép đổi đó không được phép.
Nhóm Galois về tinh thần cũng tương tự:
Nó chứa những phép hoán vị các nghiệm mà kiến thức đại số hiện tại không thể phân biệt.
Khi ta bổ sung thêm một con số mới vào field, chẳng hạn một radical, một số symmetry biến mất.
1ban đầu:
2x₁ x₂ x₃ x₄ x₅
3→ rất nhiều phép hoán vị
4
5thêm thông tin
6 ↓
7
8một số hoán vị bị loại
9
10thêm radical
11 ↓
12
13ít symmetry hơn
14
15thêm radical
16 ↓
17
18ít hơn nữa
19
20...
21
22biết toàn bộ nghiệm
23 ↓
24
25không còn ambiguity
Giải phương trình vì thế có thể nhìn như quá trình phá vỡ symmetry từng lớp.
Radical là những cú phá symmetry có giới hạn
Đây là trực giác quan trọng để hiểu tại sao Galois group quyết định khả năng giải bằng căn.
Mỗi lần ta thêm:
$$ \sqrt[n]{a} $$
vào field, ta chỉ có thể phá symmetry theo những cấu trúc tương đối đặc biệt.
Ta không thể tùy ý tiêu diệt bất cứ symmetry phức tạp nào.
Nếu group ban đầu có thể tháo thành một chuỗi các tầng Abel, ta có thể lần lượt xử lý chúng bằng những extension kiểu radical.
Nhưng nếu gặp một lõi như:
$$ A_5 $$
thì quá trình bị kẹt.
Hình dung:
1S₅
2 │
3 ▼
4A₅ ← cục này không tháo thành
5 │ những tầng Abel cần thiết
6 ╳
Radical giống như một bộ dụng cụ.
Nó tháo được rất nhiều loại ốc.
Nhưng $A_5$ xuất hiện với một con ốc mà bộ đồ nghề này không có đầu vít tương ứng.
Đập búa vào cũng không được.
“Không có công thức” nghĩa chính xác là công thức kiểu nào?
Đây cũng là điều nên nói rõ.
Khi nói phương trình bậc năm tổng quát không có công thức nghiệm, ta không nói rằng không thể dùng bất kỳ hàm toán học nào để biểu diễn nghiệm.
Ta chỉ loại trừ các biểu thức xây từ:
$$ +,\quad -,\quad \times,\quad \div $$
và finitely many radicals:
$$ \sqrt[n]{\phantom{x}} $$
Ví dụ bậc hai dùng:
$$ \sqrt{b^2-4ac} $$
Bậc ba cần cả căn bậc hai và căn bậc ba.
Bậc bốn cũng có thể biểu diễn bằng radical.
Bậc năm tổng quát thì không.
Nhưng nếu mở rộng ngôn ngữ, ta vẫn có những cách biểu diễn khác, chẳng hạn liên quan tới:
- Bring radical
- hypergeometric functions
- elliptic và modular functions trong các cách tiếp cận cổ điển
Cho nên định lý không nói:
“Nghiệm bậc năm là thứ không thể diễn đạt.”
Nó nói:
“Bộ từ vựng radical không đủ.”
Một khác biệt rất quan trọng.
Vì sao phát hiện này quan trọng hơn chuyện phương trình bậc năm?
Nếu Galois Theory chỉ dùng để nói:
“Bậc năm không có công thức.”
thì nó đã là một câu chuyện lịch sử thú vị.
Nhưng ảnh hưởng của nó lớn hơn nhiều.
Ý tưởng nhóm Galois trở thành công cụ quan trọng trong:
- algebraic number theory
- algebraic geometry
- finite fields
- coding theory
- cryptography
- nghiên cứu nghiệm đa thức
- theory of equations
Ví dụ finite fields:
$$ \mathbb{F}_{p^n} $$
đóng vai trò quan trọng trong nhiều hệ thống mã hóa và error-correcting code.
Galois theory cũng là một trong những nơi đẹp nhất cho thấy group theory không chỉ là chuyện quay hình vuông hay giải Rubik.
Group có thể mô tả symmetry của:
- hình học
- phương trình
- trường số
- vật lý
- tinh thể
- hạt cơ bản
Cái gọi là “đối xứng” rộng hơn rất nhiều so với thứ mắt ta nhìn thấy.
Một góc nhìn khác: nghiệm càng bí mật, symmetry càng lớn
Có một trực giác khá hay.
Giả sử ta biết rất ít về nghiệm.
Rất nhiều nghiệm có thể đổi chỗ với nhau mà ta không nhận ra.
Symmetry lớn.
Khi ta học thêm thông tin:
1biết ít
2│
3│ symmetry lớn
4▼
5
6biết thêm
7│
8│ symmetry nhỏ dần
9▼
10
11biết toàn bộ nghiệm
12│
13▼
14symmetry biến mất
Theo nghĩa này, nhóm Galois đo một dạng mức độ mơ hồ đại số của nghiệm.
Một Galois group lớn nghĩa là có nhiều cách hoán vị nghiệm mà field hiện tại chưa đủ thông tin để phân biệt.
Việc mở rộng field giống như bật thêm đèn trong căn phòng.
Ban đầu năm người đứng trong bóng tối.
Ta chỉ thấy năm cái bóng.
Thêm một radical.
Một ngọn đèn bật lên.
Một số người bắt đầu phân biệt được.
Thêm radical nữa.
Căn phòng sáng hơn.
Nếu symmetry có cấu trúc solvable, ta có thể bật đủ các ngọn đèn radical để cuối cùng nhận diện từng người.
Nhưng với một số phương trình bậc năm, có một lớp bóng tối mang cấu trúc $A_5$ mà bộ công tắc radical không phá được.
Đây không còn là vấn đề tính toán.
Nó là vấn đề cấu trúc.
Cái hay của Galois Theory: chứng minh sự bất khả thi
Trong kỹ thuật, chúng ta thường quen với câu hỏi:
Làm thế nào để làm việc X?
- Làm database nhanh hơn thế nào?
- Nén model xuống thế nào?
- Tìm kiếm một tỷ document thế nào?
- Giảm RAM thế nào?
Nhưng đôi khi câu hỏi quan trọng hơn là:
Với các ràng buộc hiện tại, việc X có khả thi hay không?
Nếu bất khả thi về mặt cấu trúc, tối ưu thêm 10%, 100% hay 1.000% cũng vô nghĩa.
Trước Galois, hàng thế hệ toán học cố tìm công thức bậc năm.
Sau Galois, câu hỏi được nâng lên một tầng:
1không hỏi:
2"Công thức nằm ở đâu?"
3
4mà hỏi:
5"Cấu trúc nào quyết định công thức có thể tồn tại?"
Đây là một bài học rất mạnh.
Một số bài toán không cần thuật toán tốt hơn.
Ta cần một định lý chứng minh rằng loại thuật toán mình đang tìm vốn không tồn tại dưới những điều kiện đã đặt ra.
Từ bậc hai tới bậc năm chỉ có ba bước, nhưng toán học đã đổi thế giới
Nhìn lại:
$$ 2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow5 $$
chỉ tăng ba đơn vị.
Nhưng cấu trúc phía dưới thay đổi rất lớn.
Bậc hai:
$$ S_2 $$
Bậc ba:
$$ S_3 $$
Bậc bốn:
$$ S_4 $$
Bậc năm:
$$ S_5 \supset A_5 $$
và $A_5$ là non-abelian simple.
Một vật thể mới xuất hiện.
Đây là chuyện thường thấy trong toán học.
Thêm “một chút” vào kích thước bài toán đôi khi không làm bài toán khó hơn một chút.
Nó tạo ra một loại cấu trúc hoàn toàn mới.
Giống như:
11 con kiến
210 con kiến
3100 con kiến
vẫn chỉ là nhiều kiến hơn.
Nhưng đến hàng triệu con, ta bắt đầu có:
- đàn
- đường đi
- phân công
- tín hiệu hóa học
- hành vi tập thể
Số lượng tạo ra cấu trúc mới.
Ở phương trình đa thức, năm nghiệm vừa đủ để một symmetry đặc biệt xuất hiện.
Và từ đó cánh cửa radical đóng lại.
Tổng kết
Lý thuyết Galois trả lời một câu hỏi tưởng đơn giản:
Tại sao phương trình bậc năm không có công thức nghiệm giống phương trình bậc hai?
Câu trả lời không nằm trong việc công thức quá dài.
Nó nằm trong đối xứng của các nghiệm.
Ta bắt đầu với một đa thức, xây trường chứa các nghiệm, rồi xem những phép hoán vị nào của các nghiệm vẫn giữ nguyên mọi quan hệ đại số. Những phép hoán vị đó tạo thành Galois group.
Nếu group này là một solvable group, phương trình có thể giải bằng radical.
Đối với phương trình tổng quát:
$$ S_2,S_3,S_4 $$
đều solvable.
Nhưng:
$$ S_5 $$
không solvable, bởi bên trong nó xuất hiện:
$$ A_5 $$
một non-abelian simple group.
Vì vậy:
$$ \boxed{ \text{không tồn tại công thức radical tổng quát cho phương trình bậc 5} } $$
Điều mình thích nhất ở câu chuyện này là Galois không chiến thắng bằng cách tìm ra một công thức phức tạp hơn.
Ông chiến thắng bằng cách chứng minh rằng đừng tìm nữa, thứ anh đang tìm vốn không tồn tại.
Một phương trình chỉ là vài ký hiệu mực nằm im trên giấy.
Nhưng bên dưới những ký hiệu đó là một đám nghiệm đang âm thầm đổi chỗ, một thế giới đối xứng vô hình, những group nằm trong group, những field nằm trong field, và đến đúng bậc năm, một cấu trúc 60 phần tử tên là $A_5$ đứng chắn giữa con người và giấc mơ về một công thức đẹp như bậc hai.
Không có gì trong toán học thực sự đứng yên.
Ngay cả những nghiệm mà ta chưa biết cũng đang mang trong chúng một cấu trúc đối xứng.
Và đôi khi, muốn hiểu một phương trình, ta không nên nhìn vào phương trình nữa.
Ta phải nhìn vào những thứ mà phương trình cho phép đổi chỗ mà vẫn không thay đổi.
Đó là cánh cửa mà Galois đã mở ra.
Tham khảo
- Ian Stewart, Galois Theory, Chapman and Hall/CRC.
- Joseph Rotman, Galois Theory, Springer.
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley.
- Harold M. Edwards, Galois Theory, Springer.
- https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
- https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
- https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group
- https://mathworld.wolfram.com/GaloisGroup.html
Bình luận