Bài 2 · Khi nào nên tung đồng xu trước khi sút phạt đền?

Đội lớp An có một cầu thủ sút góc trái rất hay. Hay đến mức thủ môn bên kia chưa thấy An chạy đà đã chuẩn bị bay qua trái.

Khi một tuyệt chiêu ai cũng thuộc, vấn đề của bạn nằm ở chỗ nó hết tuyệt mật.

Chiến lược hỗn hợp là cách chọn giữa vài nước đi theo xác suất đã định. Ta sẽ thử tìm một tỉ lệ sút trái, sút phải mà thủ môn biết tỉ lệ ấy rồi vẫn khó tận dụng.

Bắt đầu với cái khung thành hơi kỳ

Giả sử người sút chỉ chọn trái hoặc phải. Thủ môn cũng chỉ chọn trái hoặc phải. Hai bên quyết định trước khi thấy lựa chọn của nhau. Cùng hướng thì thủ môn bắt được. Khác hướng thì bóng vào.

Người sút \ Thủ môn	Bay trái	Bay phải
Sút trái	0	1
Sút phải	1	0

Bảng chỉ ghi điểm người sút. Người sút thích 1, thủ môn thích 0. Nếu người sút luôn chọn trái, thủ môn bay trái. Nếu thủ môn luôn bay trái, người sút chuyển sang phải. Rồi thủ môn chuyển theo. Cứ thế hai bạn có thể đuổi nhau một vòng quanh bảng.

Thử ngồi vào bất kỳ ô nào. Nếu ô có 1, thủ môn muốn tự đổi. Nếu ô có 0, người sút muốn tự đổi. Vậy không có cân bằng chiến lược thuần, tức cân bằng mà mỗi người chọn cố định một hướng.

Mỗi người tung đồng xu công bằng và giấu kết quả thì sao? Người sút có cơ hội ghi bàn 50% dù thủ môn bay bên nào. Thủ môn cũng giữ được xác suất thủng lưới ở 50% dù người sút chọn bên nào. Cả hai giữ đồng xu thì không ai đổi cách chọn để cải thiện kết quả trung bình. Đây là cân bằng, chỉ có điều thứ đứng yên là cách gieo lựa chọn.

Sút hai bên bằng nhau có khi lại dở

Bây giờ sửa luật. An sút trái mạnh. Kể cả thủ môn đoán đúng, bóng vào khoảng 40% số lần. Thủ môn đoán sai thì vào 100%. An sút phải yếu hơn. Đoán đúng là bắt được hết, đoán sai vẫn chỉ vào khoảng 80%.

Người sút \ Thủ môn	Bay trái	Bay phải
Sút trái	40%	100%
Sút phải	80%	0%

Đây là số bịa để làm toán. Ngoài sân, muốn điền bảng phải có dữ liệu và còn phải để ý chân thuận, góc sút, người bắt, cùng cả đống chuyện khác.

Giả sử An sút trái 50 lần trong 100 lượt và sút phải 50 lần. Nếu thủ môn luôn bay trái, số bàn trung bình là 20 từ bên trái cộng 40 từ bên phải, tổng 60. Nếu thủ môn luôn bay phải, An có 50 bàn trung bình. Thủ môn chọn bay phải ngay. Đồng xu 50–50 đã để hở một cửa.

Gọi tỉ lệ An sút trái là p, viết dưới dạng số từ 0 đến 1. Tỉ lệ sút phải là 1 − p. Nếu thủ môn bay trái, xác suất vào là 0,4p + 0,8(1 − p). Nếu thủ môn bay phải, xác suất vào là p. Làm hai số bằng nhau, ta có p = 4/7, khoảng 57,1%.

Thủ môn cũng phải pha lựa chọn. Gọi q là tỉ lệ thủ môn bay trái. Sút trái cho An 0,4q + 1(1 − q). Sút phải cho An 0,8q. Cho hai số bằng nhau, ta được q = 5/7, khoảng 71,4%. Thay lại, mỗi hướng sút cho xác suất vào 4/7. Đây là cân bằng của bảng giả định.

Chú ý ai đang làm cho ai hết chênh lệch. Tỉ lệ sút 4/7 làm thủ môn hết thích riêng một phía. Tỉ lệ bay 5/7 làm người sút hết thích riêng một phía. Hai tỉ lệ làm hai việc khác nhau.

Đem một bộ thẻ ra kiểm tra

Cắt bảy mảnh giấy, ghi Trái lên bốn mảnh và Phải lên ba mảnh. Mỗi lượt rút một mảnh, ghi hướng sút, rồi bỏ mảnh đó trở lại và xáo trước lượt sau. Thủ môn chuẩn bị bộ riêng gồm năm trái và hai phải. Khi hai bạn lật thẻ, dùng bảng xác suất để tính điểm kỳ vọng, hoặc dùng trình tạo số ngẫu nhiên để giả lập bóng vào hay ra.

Nếu muốn kiểm bằng Python, cho mỗi thẻ của người sút gặp từng thẻ của thủ môn. Có đúng 49 cặp có thể rút, cơ hội bằng nhau. Ta cộng xác suất của từng cặp rồi chia 49.

 1the_sut = ["trái"] * 4 + ["phải"] * 3
 2the_bay = ["trái"] * 5 + ["phải"] * 2
 3xac_suat_vao = {
 4    ("trái", "trái"): 40, ("trái", "phải"): 100,
 5    ("phải", "trái"): 80, ("phải", "phải"): 0,
 6}
 7
 8tong = 0
 9for huong_sut in the_sut:
10    for huong_bay in the_bay:
11        tong += xac_suat_vao[huong_sut, huong_bay]
12
13print(f"{tong / (len(the_sut) * len(the_bay)):.2f}%")

Kết quả là 57,14%. Máy chỉ đếm đủ các cặp thẻ để kiểm lại phép tính 4/7 ở trên.

Nếu thay bằng “trái, phải, trái, phải” cho dễ nhớ thì sao? Cả chuỗi vẫn có đúng 50% trái. Tuy nhiên thủ môn thấy ba lượt đầu là có thể đoán lượt thứ tư. Biết tỉ lệ khác với biết lượt tới. Mình rút thẻ kín để giữ sự khác biệt đó.

Bạn cũng có thể thử sửa bảng. Giả sử An luyện chân phải tới mức hai hàng trở nên đối xứng. Khi ấy hai bên có thể kiểm tra lại bằng đồng xu công bằng. Nếu tay thủ môn vẫn bay trái 5/7 theo thói quen cũ, người sút sẽ tìm được bên đáng sút hơn. Bảng đổi thì cách pha cũng phải đổi.

Đọc tiếp

Tài liệu tham khảo

Chương 5 của Game Theory, Giacomo Bonanno trình bày chiến lược hỗn hợp và cách tính cân bằng bằng điểm trung bình.