Hai nhóm chơi cướp cờ trên một bản đồ giấy. Nhóm An chọn đường tấn công. Nhóm Bình đặt chốt. An lấy bao nhiêu điểm thì Bình mất bấy nhiêu. Cô trọng tài ghi mỗi điểm của An, rồi bảo Bình cứ nhìn bảng đó mà tìm cách cho nó thấp xuống.
Một bên kéo lên. Một bên kéo xuống. Đây là trò chơi tổng bằng không.
Thử giữ chắc điểm trước
| An chọn / Bình chốt | Chốt trái | Chốt phải |
|---|---|---|
| Đường tắt | 3 | 1 |
| Đường vòng | 0 | 2 |
Nếu An đi đường tắt, Bình làm An được thấp nhất là 1. Nếu An đi đường vòng, Bình làm An được thấp nhất là 0. Với lựa chọn cố định, An có thể bảo đảm ít nhất 1 bằng đường tắt. An lấy số nhỏ nhất ở từng hàng, sau đó lấy số lớn hơn trong hai số ấy. Đó là maximin.
Bình nhìn theo cột. Chốt trái có thể để An lấy tới 3. Chốt phải có thể để An lấy tới 2. Với lựa chọn cố định, Bình có thể giữ An ở mức tối đa 2 bằng chốt phải. Bình lấy số lớn nhất mỗi cột rồi chọn số nhỏ hơn. Đó là minimax.
Hai kết quả 1 và 2 chưa chạm nhau. Nếu nhìn ô đường tắt, chốt phải, An muốn đổi sang đường vòng để lấy 2. Bình thấy thế lại muốn đổi chốt để giảm điểm xuống 0. Cái bảng đang đòi một cách chơi kín hơn.
Dùng xác suất để đóng hai lỗ hổng cùng lúc
Giả sử An đi đường tắt với xác suất p. Trước chốt trái, điểm trung bình của An là 3p. Trước chốt phải, điểm trung bình là p + 2(1 − p) = 2 − p. Cân hai số cho ra p = 1/2. Khi An xáo thẻ chọn đường theo tỉ lệ 50–50, Bình chốt bên nào thì An cũng được trung bình 1,5.
Bình cũng có cách giữ trần ở 1,5. Chốt trái với xác suất q. Đường tắt cho An 3q + 1(1 − q) = 1 + 2q. Đường vòng cho An 2(1 − q). Cân hai số được q = 1/4. Bình xáo một thẻ trái với ba thẻ phải. An chọn đường nào cũng chỉ được trung bình 1,5.
Bây giờ hai đầu đã gặp nhau. An bảo đảm được 1,5 theo điểm trung bình, Bình giới hạn được An ở 1,5 theo điểm trung bình. Định lý minimax nói rằng với trò tổng bằng không hữu hạn giữa hai người, khi cho phép pha xác suất, hai giá trị gặp nhau. Ta vừa thấy điều ấy bằng bốn ô và hai phép tính.
Tự thử
Sửa điểm ở ô đường vòng, chốt phải từ 2 thành 1. An còn cần xáo thẻ để bảo đảm 1 điểm không? Bình có thể giữ An ở mức không quá 1 bằng cách nào?
Đáp án. An cứ chọn đường tắt để có ít nhất 1. Bình cứ chốt phải, vì cả hai hàng ở cột đó đều cho An 1. Hai đầu đã gặp nhau ngay ở chiến lược cố định. Ván này đồng xu có thể nghỉ.
Đọc tiếp trong series
- Bài trước. Bài 8 · Loại chiến lược bị trội qua trò chọn bàn ở hội chợ
- Bài sau. Bài 10 · Cân bằng tương quan qua tín hiệu nhường đường
- Mục lục 35 bài Lý thuyết trò chơi
Bài liên quan
Tài liệu tham khảo
- Giáo trình và bài giảng Game Theory của Thomas S. Ferguson. Phần II về trò chơi tổng bằng không giữa hai người.
Bình luận